Integrale in una variabile

[zompetta]

salve a tutti non riesco a calcolare il seguente integrale:
$ int_(0)^(1) log(x^2+1) dx $
sono passata all'integrazione per parti, ed ho ottenuto:
$ xlog(x^2+1)-int_(0)^(1) 2x*x/(x^2+1) dx $

dopodichè non so più come proseguire! qualcuno può aiutarmi? grazie in anticipo!!

[donald_zeka]

$x^2/(1+x^2)=1-1/(1+x^2)$

[zompetta]

grazie mille!! potrei sapere come hai ragionato per risolverlo?

[donald_zeka]

Ho aggiunto e sottratto 1 al numeratore di $x^2/(1+x^2)$ ottenendo $(x^2+1-1)/(1+x^2)$ da cui subito discende ciò che ho scritto. Quella di aggiungere e sottrarre qualcosa è un trucco molto utile per ricondursi a integrali notevoli.

[Camillo]

In generale se si deve integrare un rapporto tra polinomi che hanno lo stesso grado è utile effettuare la divisione tra polinomi che dà $x^2/(x^2+1) = 1-1/(x^2+1)$.
In questo caso il "trucco " di aggiungere e togliere $1 $ è più rapido.

[zompetta]

grazie mille!! sei stato chiarissimo!!

[Camillo]

Esempio in cui è necessario effettuare la divisione tra polinomi

$int ((2x^2+x+3) dx)/(x^2+4) $
La divisione dà questo risultato : $ 2+(x-5)/(x^2+4)$ ; il primo termine si integra subito il secondo no , ha bisogno di ulteriori interventi
$(x-5)/(x^2+4) = x/(x^2+4) -5/(x^2+4) = 1/2( 2x)/(x^2+4) -5/(4(1+(x/2)^2 )$ ; ho fatto in modo che il numeratore fosse la derivata del denominatore per il primo addendo cosicché la primitiva sarà $ (1/2) ln ( x^2+4)+c $
Per il secondo addendo ho fatto in modo di arrivare a una primitiva del tipo $arctg ... $.

[zompetta]

tutto chiaro, ti ringrazio per la disponibilità!