Integrale in tre variabili con coordinate sferiche
Sia:
$D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z<=1, z>=0}$
Calcolare:
$int_(D)x^2dxdydz$
Per risolverlo avevo questa idea, sostituire z con $k^2=z$, e quindi l'insieme D diventa $D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+k^2<=1, k^2>=0}$, si può fare quindi il cambio di variabili in coordinare sferiche, poichè adesso ho una sfera intera di raggio 1 (giusto? intera dato che $k^2$ è sempre maggiore uguale di zero).
Adesso l'integrale in coordinate sferiche: $x^2=(\rho cos(\phi) cos(\theta))^2$ per la matrice jacobiana che è $\rho^2 cos(\phi)$.
Questo procedimento è corretto? Una volta risolto l'integrale devo fare qualcosa a causa del cambiamento iniziale di variabile da z a k?
Confido nella vostra conoscenza per dissolvere i miei dubbi, grazie.
$D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z<=1, z>=0}$
Calcolare:
$int_(D)x^2dxdydz$
Per risolverlo avevo questa idea, sostituire z con $k^2=z$, e quindi l'insieme D diventa $D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+k^2<=1, k^2>=0}$, si può fare quindi il cambio di variabili in coordinare sferiche, poichè adesso ho una sfera intera di raggio 1 (giusto? intera dato che $k^2$ è sempre maggiore uguale di zero).
Adesso l'integrale in coordinate sferiche: $x^2=(\rho cos(\phi) cos(\theta))^2$ per la matrice jacobiana che è $\rho^2 cos(\phi)$.
Questo procedimento è corretto? Una volta risolto l'integrale devo fare qualcosa a causa del cambiamento iniziale di variabile da z a k?
Confido nella vostra conoscenza per dissolvere i miei dubbi, grazie.
Risposte
Personalmente avrei usato le coordinate cilindriche, visto che
$D = \{0\le z \le 1-(x^2+y^2)\}$.
$D = \{0\le z \le 1-(x^2+y^2)\}$.
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