Integrale in senso generalizzato

[itisscience]

devo discutere la convergenza dell'integrale $ int_(0)^(+oo) (e^x-1-sinx)/(e^(pix)-1-sin(pix)) dx $ .

ho problemi nel studiare la convergenza in un intorno di $ +oo $ .
la funzione integranda si comporta come $ e^((1-pi)x) $ ma non capisco come mai si arrivi a dire che $ e^((1-pi)x) $ è una funzione integrabile in senso generalizzato su $ [1,+oo) $ perchè a me invece $ lim_(a ->+oo ) int_(1)^(a) e^(x-pix) dx $ risulta divergente

[Mephlip]

Ciao! No, $\lim_{a \to \infty} \int_1^a e^{x-\pi x} \text{d}x$ non è divergente. Scrivi i calcoli che fai nel calcolare l'integrale e il limite, così vediamo dov'è l'errore.

[itisscience]

$ lim_(a -> +oo) int_(1)^(a) e^(x-pix) dx =lim_(a -> +oo)((e^(a-pia)-e^(1-pi))/(1-pi)) $

[Mephlip]

Giusto l'integrale, perché dici che il limite diverge? Quel limite converge.

[itisscience]

converge perchè $ e^(a-a)=e^0=1 $ ?

[Mephlip]

Non capisco. Perché dovrebbe venire $e^{a-a}$? Devi far tendere $a$ ad $\infty$. Quale quantità domina all'esponente tra $a$ e $-\pi a$ quando $a$ diventa grande?

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

Ha ragione Mephlip, quel limite esiste finito...
In particolare si vede subito che si ha:

$\lim_{a \to +\infty}((e^(a-\pi a)-e^(1-\pi))/(1-\pi)) = e^(1 - \pi)/(\pi - 1) $

[itisscience]

dunque $ lim_(a -> +oo) e^(a-pia)=lim_(a -> +oo) e^a/(e^(pia)) $ fa 0?

[Mephlip]

Sì, fa $0$. I limiti sono fondamentali per lo studio della convergenza di integrali impropri, ti consiglio caldamente di fissare le lacune su di essi o rischi di perderci molto più tempo del necessario!

[Studente Anonimo]

Itisscience, quando $a$ tende a $+oo$, la quantità

$a-pi a =a(1-pi)$

tende a $-oo$ perché

$1-pi<0$.

[itisscience]

avete ragione, seguirò il prezioso consiglio. grazie