Integrale in R^3, dominio e coordinate cilindriche
Ciao a tutti. 
Sto preparando l'esame di Analisi matematica II, e tra gli esercizi che sto facendo per prendere la mano, ho trovato delle difficoltà con questo che riporto qui di seguito:
$\int int int_T (|y|sqrt(z))/(x^2+y^2) dxdydz$, con $T= {(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<=1, z>=x^2+y^2}$
Pensavo di sfruttare le simmetrie presenti nella funzione integranda e nel dominio ($x^2+y^2$) per applicare una trasformazione per passare alle coordinate cilindriche.
In tale maniera avrei:
$\{ (x=\rhocos\theta), (y=\rhosen\theta), (z=z):}$
Per cui, sostituendo si ottiene:
$\int int int_T (|\rhosen\theta|sqrt(z))/(\rho^2) \rho d\rhod\thetadz$, con $T= {(\rho,\theta,z) in RR^3: \rho^2+z^2<=1, z>=\rho^2}$
Dal momento che $\rho$, per definizione, è una quantità positiva, la porto fuori dal valore assoluto nella f. integranda e semplifico:
$\int int int_T (|sen\theta|sqrt(z)) d\rhod\thetadz$, con $T= {(\rho,\theta,z) in RR^3: \rho^2+z^2<=1, z>=\rho^2}$
A questo punto iniziano i problemi, per cui faccio le seguenti domande:
- Posso imporre la condizione: $\theta in [0, pi]$ in modo tale da rimuovere il valore assoluto nella f. integranda?
- Come devo discutere le disequazioni che definiscono il dominio in modo da ottenere gli estremi di integrazione?
Sto preparando l'esame di Analisi matematica II, e tra gli esercizi che sto facendo per prendere la mano, ho trovato delle difficoltà con questo che riporto qui di seguito:
$\int int int_T (|y|sqrt(z))/(x^2+y^2) dxdydz$, con $T= {(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<=1, z>=x^2+y^2}$
Pensavo di sfruttare le simmetrie presenti nella funzione integranda e nel dominio ($x^2+y^2$) per applicare una trasformazione per passare alle coordinate cilindriche.
In tale maniera avrei:
$\{ (x=\rhocos\theta), (y=\rhosen\theta), (z=z):}$
Per cui, sostituendo si ottiene:
$\int int int_T (|\rhosen\theta|sqrt(z))/(\rho^2) \rho d\rhod\thetadz$, con $T= {(\rho,\theta,z) in RR^3: \rho^2+z^2<=1, z>=\rho^2}$
Dal momento che $\rho$, per definizione, è una quantità positiva, la porto fuori dal valore assoluto nella f. integranda e semplifico:
$\int int int_T (|sen\theta|sqrt(z)) d\rhod\thetadz$, con $T= {(\rho,\theta,z) in RR^3: \rho^2+z^2<=1, z>=\rho^2}$
A questo punto iniziano i problemi, per cui faccio le seguenti domande:
- Posso imporre la condizione: $\theta in [0, pi]$ in modo tale da rimuovere il valore assoluto nella f. integranda?
- Come devo discutere le disequazioni che definiscono il dominio in modo da ottenere gli estremi di integrazione?
Risposte
"TeM":
Il tutto si traduce nella risoluzione del seguente sistema di disequazioni: \[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ \rho^2 + z^2 \le 1 \\ z \ge \rho^2 \end{cases} \; ; \] la soluzione di tale sistema porge banalmente le restrizioni desiderate tramite le quali poter calcolare tranquillamente
l'integrale triplo in oggetto.
Ti ringrazio per la risposta dettagliatissima!
Volevo solo sapere, come ultima cosa, se sono giusti i passaggi che faccio per ottenere gli estremi di integrazione a partire dal suddetto sistema:
Dalla terza disequazione ricavo:
$z^2 <= 1-\rho^2$
Affinché si possa estrarre la radice quadrata, mi assicuro che: $1-\rho^2>=0$
Ciò è vero per $-1<\rho<1$, ma combinando quest'ultima scrittura con la prima disequazione del sistema, dovrei avere: $0<=\rho<=1$
Quindi posso finalmente estrarre la radice: $z<=sqrt(1-\rho^2)$
A questo punto dovrei combinare quest'ultima con l'ultima equazione del sistema, ottenendo:
$\rho^2 <= z <= sqrt(1-\rho^2)$
Affinché ciò sia vero si deve avere:
$\rho^2<=sqrt(1-\rho^2)$, ovvero $sqrt((-1-sqrt5)/2)<=\rho=sqrt((-1+sqrt5)/2)$
Quindi riassumendo i miei estremi di integrazione dovrebbero essere:
${(0<=\rho<=sqrt((-1+sqrt5)/2)),(0<=\theta<=2pi),(\rho^2<=z<=sqrt(1-\rho^2)):}$
Mi è venuto il dubbio per colpa di quel brutto radicale doppio
Gentilissimo! Ti ringrazio
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