Integrale in problema di Cauchy

[pinkfloydian]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in una tipologia di esercizi che hanno un'equazione differenziale con un integrale. Ad esempio (non riesco a fare il sistema in Latex):

$ { y'(t)-int_(0)^(t) y(x)cos(t-x)dx=tsint , y(0)=1 } $

Il problema è che da quell'integrale mi esce fuori l'identità $0=0$ e non so come andare avanti. Ovviamente non chiedo lo svolgimento dell'esercizio ma solo come mi devo comportare in casi come questi. Grazie mille

[Antimius]

Derivando due volte l'equazione ottieni di nuovo lo stesso integrale, che poi puoi sostituire: $\int_0^ty(x) \cos (t-x) dx = y'(t) - t \sin t$.
Se ho fatto bene i conti viene $y^{(3)}(t) + y'(t) = 2 t \sin t$ e questa è una semplice equazione differenziale lineare con coefficienti costanti
(Ovviamente devi determinare i valori di $y'(0)$ e $y^{(2)}(0)$ per risolvere il problema di Cauchy)

[ciampax]

Mmmmmm, a me puzza che sia roba da risolvere con le trasformate di Laplace. Anche perché quell'integrale è una convoluzione tra $y(t)$ e $\cos t$. Ed effettivamente, se così fosse, le cose diverrebbero abbastanza semplici. Infatti, scritto l'integrale come convoluzione
$$y'(t)-(y\star\cos)(t)=t\sin t$$
Applicando allora le regole di trasformazione si ottiene, detta $Y(s)=\mathcal{L}(f(t))(s)$
$$\mathcal{L}(y'(t))(s)=s\cdot Y(s)-y(0)=s\cdot Y(s)-1$$
$$\mathcal{L}[(y\star\cos)(t)](s)=\mathcal{L}(y(t))(s)\cdot\mathcal{L}(\cos t)(s)=Y(s)\cdot\frac{s}{s^2+1}$$
$$\mathcal{L}[(t\sin t)](s)=-\frac{d}{ds}\left[\mathcal{L}(\sin t)(s)\right]=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)=\frac{2s}{(s^2+1)^2}$$
da cui l'equazione
$$s\cdot Y(s)-1-\frac{s}{s^2+1}\cdot Y(s)=\frac{2s}{(s^2+1)^2}$$
e quindi
$$\frac{s^3}{s^2+1}\cdot Y(s)=\frac{2s+(s^2+1)^2}{(s^2+1)^2}$$
e in definitiva
$$Y(s)=\frac{2s+(s^2+1)^2}{s^3(s^2+1)}$$
A questo punto decomponiamo la frazione al modo seguente
$$Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s^3}+\frac{Ds+E}{s^2+1}$$
e calcoliamo i coefficienti. Valendo l'identità
$$2s+(s^2+1)^2=(As^2+Bs+C)(s^2+1)+s^3(Ds+E)$$
si ricava con opportune scelte di $s$ che
$$A=1,\quad B=2,\quad C=1,\quad D=0,\quad E=-2$$
e quindi
$$Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{1}{s^3}-\frac{2}{s^2+1}$$
Pertanto, applicando le antitrasformate (o usando delle opportune tabelle) si trova la soluzione dell'equazione originaria
$$y(t)=H(t)+2t+\frac{1}{2} t^2-\sin t$$
dove $H(t)$ è la funzione di Heaviside.

[pinkfloydian]

Grazie davvero ad entrambi per le risposte così veloci.
Comunque si, l'esercizio è da risolvere con la trasformata di Laplace, quindi mi scuso, in particolare con Antimius, per non averlo scritto. Pensavo che ai fini di quello che avevo chiesto non fosse indispensabile. Grazie ancora e buona giornata!