Integrale in $\mathbb{R}^2$
Ciao! Vorrei chiedere il vostro aiuto riguardo al seguente integrale: 
Sono riuscito a disegnare in $\mathbb{R}^2$, e quindi a trovare gli estremi di integrazione, però non riesco a capire come fare a trattare il minimo tra $1$ e $2(x_1+x_2)^-2$. So che devo dividere l'intregrale in due integrali in cui in uno ci sarà appunto $1$ e nell'altro $2(x_1+x_2)^-2$. Passo in cordinate polari e sostituisco: \begin{array}{rcl} x_1=\rho*cos\theta \\ x_2=\rho*sin\theta \end{array}
Se uso le coordinate polari ottengo per esempio che il $min{1, 2(x_1+x_2)^-2}=1$ se $\theta < \frac{arcsin{\frac{2}{2\rho^2} -\frac{1}{2}}}{2}$.
Come faccio a capire che estremi mettere per $\theta$? Non vanno più da $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{2}$ giusto?
Vi allego anche il procedimento fino a questo punto:
(è venuta leggermente tagliata nel bordo sinistro)
Spero di essermi spiegato. Grazie per il vostro aiuto!
Sono riuscito a disegnare in $\mathbb{R}^2$, e quindi a trovare gli estremi di integrazione, però non riesco a capire come fare a trattare il minimo tra $1$ e $2(x_1+x_2)^-2$. So che devo dividere l'intregrale in due integrali in cui in uno ci sarà appunto $1$ e nell'altro $2(x_1+x_2)^-2$. Passo in cordinate polari e sostituisco: \begin{array}{rcl} x_1=\rho*cos\theta \\ x_2=\rho*sin\theta \end{array}
Se uso le coordinate polari ottengo per esempio che il $min{1, 2(x_1+x_2)^-2}=1$ se $\theta < \frac{arcsin{\frac{2}{2\rho^2} -\frac{1}{2}}}{2}$.
Come faccio a capire che estremi mettere per $\theta$? Non vanno più da $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{2}$ giusto?
Vi allego anche il procedimento fino a questo punto:
(è venuta leggermente tagliata nel bordo sinistro)
Spero di essermi spiegato. Grazie per il vostro aiuto!
Risposte
Mi è venuto anche in mente che potrei spezzare il dominio di integrazione di $\rho$ tra $1$ a $\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}}$, e tra $\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}}$ e $+\infty$, però così diventa un integrale piuttosto complicato:
$\int_1^\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \rho d\rho d\theta$ $+$ $\int_{\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}}}^{+\infty} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \rho 2(x_1+x_2)^{-2} dx_1dx_2$
con gli opportuni cambiamenti nel secondo integrale doppio dalle coordinate cartesiane a quelle polari..
$\int_1^\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \rho d\rho d\theta$ $+$ $\int_{\sqrt{\frac{2}{\sin{2 \theta}+1}}}^{+\infty} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \rho 2(x_1+x_2)^{-2} dx_1dx_2$
con gli opportuni cambiamenti nel secondo integrale doppio dalle coordinate cartesiane a quelle polari..
Grazie per la risposta! Quindi non è necessario, anzi è controproducente utilizzare le coordinate polari? Perché di solito quando trovo $x_1^2+x_2^2$ Parto sempre a rumba utilizzando le coordinate polari.
Grazie proverò aa risolvere gli integrali che mi hai inviato!
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