Integrale in due variabili

[Unibo1]

$ int_(E)^() x^2*y*e^(3*y) d(x,y) $

dove l'integrazione si effettua sull'insieme $ E = [ (x,y) in RR^2; 0 <= y <= 1, 0 <= x <= e^{y} ] $

Io ho integrato prima in x, in quanto dipende da y, e poi ovviamente in y. Il mio risultato è $ 1/18 $ ; la variabile y l'ho integrata per parti ... è corretto?

Grazie mille.

[Pdirac]

Non escludendo l'errore, a me viene diverso:

$int_0^1 (int_0^(e^y) x^2ye^(3y) dx) dy = int_0^1 ye^(3y)(int_0^(e^y) x^2 dx) dy $
$= int_0^1 ye^(3y)e^(3y)/3 dy $
$= 1/3 int_0^1 ye^(6y) dy $
$= 1/3 int_0^1 yD(e^(6y)/6) dy $
$= 1/3 ( [ye^(6y)/6]_0^1 - 1/6 int_0^1 e^(6y) dy ) $
$= 1/18 (e^6 - 1/6 e^6)$

[Unibo1]

"Pdirac":Non escludendo l'errore, a me viene diverso:

$int_0^1 (int_0^(e^y) x^2ye^(3y) dx) dy = int_0^1 ye^(3y)(int_0^(e^y) x^2 dx) dy $
$= int_0^1 ye^(3y)e^(3y)/3 dy $
$= 1/3 int_0^1 ye^(6y) dy $
$= 1/3 int_0^1 yD(e^(6y)/6) dy $
$= 1/3 ( [ye^(6y)/6]_0^1 - 1/6 int_0^1 e^(6y) dy ) $
$= 1/18 (e^6 - 1/6 e^6)$

Rifacendolo mi viene $ 1/18 (e^6 - 1/6*( e^6 - 1/6)) $ ... help

[ciampax]

Concordo con il risultato di Pdirac

[Unibo1]

Ok allora ho sbagliato io grazie!

[gugo82]

Mmmm... Il risultato giusto è quello dell'ultimo post di Unibo, ossia (semplificando il semplificabile) [tex]$\tfrac{1}{108} (5e^6+1)$[/tex].

Invero:

[tex]$\int_0^1 ye^{3y} \left\{ \int_0^{e^y} x^2\ \text{d} x\right\}\ \text{d} y =\frac{1}{3}\ \int_0^1 y\ e^{6y}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{108} \left[ e^{6y} (6y-1) \right]_0^1$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{108} (5e^6+1)$[/tex].

[ciampax]

Ah, vero, viene $1/{36}$ nel secondo integrale.