Integrale in coordinate polari
$\int int sqrt (x^2+y^2) dx dy$
$A={(x,y) app. R^2 : x^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1, y>=0}
l'insieme si scrive bene in coord polari, siamo dentro la circonferenza di centro 0 e raggio 1, al di fuori della circonferenza di centro (0,1) e raggio 1, il tutto con y>0. le due circonf. si intersecano in $(\rho,\theta)$$(1, \pi/6)$ $(1, (5\pi)/(6))$
quindi in coord polari si ha:
$\int_{0}^{\pi/6} d\theta int_{0}^{1} sqrt(\rho^2)\rho d\rho + int _{(5\pi)/(6)}^{\pi} d\theta int_{0}^{1} sqrt(\rho^2)\rho d\rho$
allora, sono due circonferenze che si intersecano e l' area diciamo sono i due "occhi"che si fomano, praticamente al posto di $sqrt(x^2+y^2)$ metto
$sqrt(\rho^2)$ in quanto la circ. ha eq. $x^2+y^2=r^2$ giusto????????? per questo sostituisco col raggio vero? MA PERCHè POI MOLTIPLICAUN ALTRA VOLTA PER $\rho$ nell'integrale non bastava solo radice di rho quadro????????????? help me please...
$A={(x,y) app. R^2 : x^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1, y>=0}
l'insieme si scrive bene in coord polari, siamo dentro la circonferenza di centro 0 e raggio 1, al di fuori della circonferenza di centro (0,1) e raggio 1, il tutto con y>0. le due circonf. si intersecano in $(\rho,\theta)$$(1, \pi/6)$ $(1, (5\pi)/(6))$
quindi in coord polari si ha:
$\int_{0}^{\pi/6} d\theta int_{0}^{1} sqrt(\rho^2)\rho d\rho + int _{(5\pi)/(6)}^{\pi} d\theta int_{0}^{1} sqrt(\rho^2)\rho d\rho$
allora, sono due circonferenze che si intersecano e l' area diciamo sono i due "occhi"che si fomano, praticamente al posto di $sqrt(x^2+y^2)$ metto
$sqrt(\rho^2)$ in quanto la circ. ha eq. $x^2+y^2=r^2$ giusto????????? per questo sostituisco col raggio vero? MA PERCHè POI MOLTIPLICAUN ALTRA VOLTA PER $\rho$ nell'integrale non bastava solo radice di rho quadro????????????? help me please...
Risposte
ok ho capito, perchè $dx= \rho d\rho$ in questo caso era più o meno immedato sostituire $\rho$, perchè una circonferenza, ma ora ne sto facendo un altro sono due circ una centro 0 e raggio 1 l'altra centro 0 e r=2, quindi una ciambella. pensavo di scrivere il dominio come:
$-2<=x<=1$ $3/2\pi<=y<=\pi/2$
l'intgrale sull'area A $\int int (x^2(1+x^2y))dxdy$
ma questo non lo leggo come circonferenza non mi viene nessuna sostituzuione con $\rho$ o devo sostituire $x=\rho cos\theta$ e $y=\rho sin\theta$ nell'integrale semplicemente sostituendo le x e le y?
$-2<=x<=1$ $3/2\pi<=y<=\pi/2$
l'intgrale sull'area A $\int int (x^2(1+x^2y))dxdy$
ma questo non lo leggo come circonferenza non mi viene nessuna sostituzuione con $\rho$ o devo sostituire $x=\rho cos\theta$ e $y=\rho sin\theta$ nell'integrale semplicemente sostituendo le x e le y?
forse è meglio se x il nuovo esercizio scrivi l'integrale completo, con il relativo nuovo dominio, così si può capire meglio ...
è quello il testo!!! dopo aver fatto il disegno ho ricavato il dominio
lalla23 ci sono un bel po' di errori, riveriti bene le trasformazioni in coordinate polari. Il fattore $\rho$ esce fuori dallo jacobiano....
Se effettui un cambiamento regolare di variabili, nel piano, in coordinate polari del tipo
$ {(x=\rho cosx(\theta)), (y=\rho sin(\theta)):} $
l'integrale doppio iniziale diventa $ \int \int_{A} F(x,y)dxdy= \int int_{D} F[\rho cos(\theta), \rho sin(\theta)]*\rho d\rho, d\theta $ dove $D$ è il dominio $A$ espresso nelle nuove variabili $ (\rho, \theta) $ ok? $\rho$, poi, lo ottieni quando calcoli il determinante dello jacobiano $ | (cos(\theta), -\rhosin(\theta)), (sin(\theta), \rhocos(\theta)) | $... capì?
$ {(x=\rho cosx(\theta)), (y=\rho sin(\theta)):} $
l'integrale doppio iniziale diventa $ \int \int_{A} F(x,y)dxdy= \int int_{D} F[\rho cos(\theta), \rho sin(\theta)]*\rho d\rho, d\theta $ dove $D$ è il dominio $A$ espresso nelle nuove variabili $ (\rho, \theta) $ ok? $\rho$, poi, lo ottieni quando calcoli il determinante dello jacobiano $ | (cos(\theta), -\rhosin(\theta)), (sin(\theta), \rhocos(\theta)) | $... capì?
ok, la ciambella l'ho divisa in due in verticale, A1 e A2, così va bene scritto il dominio di sinistra?
$-2<=\rho<=1$ $3/2\pi<=\theta<=\pi/2$
l'integrale diventa sostituendo x e y:
$\int _{-2}^{1}\rhod\rho int _{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^2cos^2\theta+\rho^4cos^4\theta\rhosin\theta d\theta$
almeno così è impostato bene?
$-2<=\rho<=1$ $3/2\pi<=\theta<=\pi/2$
l'integrale diventa sostituendo x e y:
$\int _{-2}^{1}\rhod\rho int _{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^2cos^2\theta+\rho^4cos^4\theta\rhosin\theta d\theta$
almeno così è impostato bene?
l'integrale sarebbe
$ \int_{0}^{\pi/2} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^2cos^2(\theta)[1+\rho^2cos^2(\theta)\rho*sin(\theta)]*\rho d\rho d\theta=\int_{0}^{\pi/2} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^3cos^2(\theta)[1+\rho^3cos^2(\theta)*sin(\theta)] d\rho d\theta $ e poi si procede ...
solo una cortesia, potresti scrivere il dominio iniziale della "ciambella"? nn il risultato finale
$ \int_{0}^{\pi/2} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^2cos^2(\theta)[1+\rho^2cos^2(\theta)\rho*sin(\theta)]*\rho d\rho d\theta=\int_{0}^{\pi/2} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} \rho^3cos^2(\theta)[1+\rho^3cos^2(\theta)*sin(\theta)] d\rho d\theta $ e poi si procede ...
solo una cortesia, potresti scrivere il dominio iniziale della "ciambella"? nn il risultato finale
scusami, il primo integrale ha estremi $ \int_{-2}^1 ... $, vale cmq la richiesta di prima 
il testo midice solo sono due circ una centro 0 e raggio 1 l'altra centro 0 e r=2, quindi una ciambella
la richiesta di prima non ho capito che ci faccio con la matrice scusa.
poi se il raggio che mi serve per calcolare l'integrale va da -1 a -2 pewrchè scrivi $\pi/2$?
la richiesta di prima non ho capito che ci faccio con la matrice scusa.
poi se il raggio che mi serve per calcolare l'integrale va da -1 a -2 pewrchè scrivi $\pi/2$?
Allora, andiamo con ordine:
1) quando ti ho scritto l'integrale, ho sbagliato a scrivere gli estremi: infatti poi dopo mi sn corretto dicendoti che l'integrale giusto è $ \int_{-2}^{-1} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} ... $
2) la mia richiesta del dominio era perchè, ammesso che esista la corona circolare, non ho capito da dove escono gli estremi $ 3/2\pi $ e $ \pi/2 $, il che presupone che ci sia un'altra "limitazione" nel dominio, ossia se mi dici che c'è una corona circolare vuole dire che il tuo insieme è del tipo
$ A:{(x,y) in R^2 | x^2+y^2>=1, x^2+y^2<=4, x<=0, y>=0} $ il che significa che $ \rho in [-2,-1] $ ma $ \theta in [0, 2\pi] $. Se poi mi confermi (e allora ho capito male io) che il testo stesso ti dice che $ \rho in [-2,-1] $ e $ \theta in [3/2\pi, \pi/2] $ allora ok (tuttavia, se $ \rho in [-2,-1] $ allora $ \theta in [\pi/2, 5/6\pi] $ no?)
4) riguardo alla matrice, quella è detta matrice jacobiana
1) quando ti ho scritto l'integrale, ho sbagliato a scrivere gli estremi: infatti poi dopo mi sn corretto dicendoti che l'integrale giusto è $ \int_{-2}^{-1} \int_{3/2\pi}^{\pi/2} ... $
2) la mia richiesta del dominio era perchè, ammesso che esista la corona circolare, non ho capito da dove escono gli estremi $ 3/2\pi $ e $ \pi/2 $, il che presupone che ci sia un'altra "limitazione" nel dominio, ossia se mi dici che c'è una corona circolare vuole dire che il tuo insieme è del tipo
$ A:{(x,y) in R^2 | x^2+y^2>=1, x^2+y^2<=4, x<=0, y>=0} $ il che significa che $ \rho in [-2,-1] $ ma $ \theta in [0, 2\pi] $. Se poi mi confermi (e allora ho capito male io) che il testo stesso ti dice che $ \rho in [-2,-1] $ e $ \theta in [3/2\pi, \pi/2] $ allora ok (tuttavia, se $ \rho in [-2,-1] $ allora $ \theta in [\pi/2, 5/6\pi] $ no?)
4) riguardo alla matrice, quella è detta matrice jacobiana
1)Il dominio a cui fai riferimento ora è completamente differente da quello a cui facevi riferimento all'inizio. Hai sbagliato a tradurre il dominio.
2)La matrice è fondamentale per il passaggio in coordinate polari.
Se non leggi le trasformazioni in un nuovo set di coordinate non capirai mai nulla.
2)La matrice è fondamentale per il passaggio in coordinate polari.
Se non leggi le trasformazioni in un nuovo set di coordinate non capirai mai nulla.
quindi?
Aliseo non era rivolto a te, ma a lalla23. La tua risposta è arrivata mentre lo stavo scrivendo.
no quel quindi era rivolto a lalla23 ...
quel quindi era rivolto a lalla23 ...
Forse ho perso qualche passaggio ma come può $ rho $ variare tra numeri negativi ?
anche, visto che $\rho in [0, + \infty[$ e $ \theta in R $
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