Integrale in campo complesso con Lemma di Jordan

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Dimostra, con il Lemma di Jordan, che
\[I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos{x}}{1+x^2}=\frac{\pi}{e}\]

Svolgimento (con errori!).
Usando il Lemma di Jordan scrivo che
\[I=\lim_{r \to +\infty} \oint_{\Gamma_r} \frac{\cos{z}}{1+z^2}\]
dove $\Gamma_r$ è la circonferenza centrata l'origine e raggio $r$. Le singolarità sono $\pm i$, dunque calcolo
$Res(i)=cos(i)/(i+i)$ e
$Res(-i)=cos(-i)/(-i-i)=-cos(i)/(i+i)$.
L'integrale mi verrebbe, dunque, con il Teorema dei Residui, $0$. Dove sbaglio? Grazie a tutti.

[5mrkv]

\[\int \frac{\cos x}{g(x)}\mbox{d}x=\mbox{Re}\int \frac{e^{ix}}{g(x)}\mbox{d}x=\mbox{Re}\int f(z)\mbox{d}z\]
e l'integrazione va eseguita nel semipiano superiore:
\[\int f(z)\mbox{d}x=2\pi i \mbox{Res}[f(z)](i)\]
Poi prendi la parte reale del risultato.

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":\[\int \frac{\cos x}{g(x)}\mbox{d}x=\mbox{Re}\int \frac{e^{ix}}{g(x)}\mbox{d}x=\mbox{Re}\int f(z)\mbox{d}z\]
e l'integrazione va eseguita nel semipiano superiore:
\[\int f(z)\mbox{d}x=2\pi i \mbox{Res}[f(z)](i)\]
Poi prendi la parte reale del risultato.

A parte la notazione, credo di aver capito l'errore, grazie!
Potresti aiutarmi anche qui, visto che nessuno lo fa (e il post non mi è stato spostato)?

[5mrkv]

Mi sembra corretto.

[Sk_Anonymous]

Grazie, ora ho capito come fare.
Non avevo proprio capito il Lemma, adesso sì!