Integrale in campo complesso

Fai una domanda Tutte le categorie

24 giu 2012, 21:41

Ciao a tutti, ho qualche problema con la risoluzione del seguente integrale:
$ I=int_(0)^(2pi) (d theta) /(3-2cos theta+ sin theta) $
Indico con $ g(cos theta, sin theta) $ la funzione integranda. Procedendo come ci ha spiegato il professore definisco
$ f(z)=1/(iz)g((z+z^(-1))/2,(z-z^(-1))/(2i)) $ e quindi ottengo
$ f(z)=2/((1-2i)z^2+6i-(2i+1)) $
Cerco i poli di $ f(z) $ e trovo che sono $z_1=(-5i)/(1-2i)$ e $z_2=(-i)/(1-2i)$
Di questi due l'unico che sta all'interno del cerchio unitario è $z_2$, allora calcolo il residuo:
$Res(f,z_2)= lim_(z -> z_2) (z-z_2) 2/((z-z_1)(z-z_2))=(1-2i)/(2i)$ Quindi ottengo
$I=2pii((1-2i)/(2i))=pi(1-2i) $
Tuttavia le soluzioni mi dicono che dovrei trovare come risultato $pi$...Qualcuno sa spiegarmi dove sbaglio? Grazie mille in anticipo a tutti!!!

Risposte

poncelet

24 giu 2012, 22:01

Tutto giusto tranne il calcolo del residuo che viene $-\frac{i}{2}$.

AlyAly2

25 giu 2012, 09:36

Ciao, innanzi tutto grazie mille per la risposta.
Mi potresti spiegare come fa il residuo a venire $ -i/2 $?
Ti posto più in dettaglio i miei calcoli, probabilmente sto facendo un errore banale ma non riesco a vederlo...
$ Res(f,z_2)= lim_(z->(-i)/(1-2i))(z+i/(1-2i)) 2/((z+(5i)/(1-2i))(z+i/(1-2i)) )=(2(1-2i))/(4i)=(1-2i)/(2i) $

poncelet

25 giu 2012, 10:15

Hai sbagliato la scomposizione del denominatore.

AlyAly2

25 giu 2012, 10:18

e come va scomposto?

poncelet

25 giu 2012, 10:25

$(1-2i)z^{2}+6iz-(1+2i)=(1-2i)(z+\frac{5i}{1-2i})(z+\frac{i}{1-2i})$

AlyAly2

25 giu 2012, 10:28

oh è vero, il coefficiente di $ z^2 $ me lo dimentico sempre!

poncelet

25 giu 2012, 10:29

In alternativa potevi utilizzare un risultato (presente nelle dispense di Caldiroli) che di che se $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ con $g,h$ olomorfe in un aperto $\Omega$, se $w \in \Omega$ è tale che $g(w) \neq 0, h(w)=0, h'(w) \neq 0$ allora $w$ è un polo semplice di $f(z)$ e
\[
Res(f,w)=\frac{g(w)}{h'(w)}
\]