Integrale in campo complesso

[dlbp]

Salve ragazzi....sto ricopiando degli appunti che ho preso a lezione e sono capitato in quest'esempio...

$ int_( -oo)^(oo) 1/(1+z^2) dz$ e lo svolgimento riporta che è uguale a=

$ int_( -R)^( R) 1/(1+z^2) dz$

Ora per svolgerlo ho completato il segmento con una semicirconferenza che tende all'infinito e quindi ho che l'integrale diventa uguale alla differenza tra l'integrale calcolato su tutto il percorso(semicirconferenza e segmento $[-R,R]$ e l'integrale calcolato solo sulla semicirconferenza

Il primo integrale non ho problemi perchè si usa il teorema dei residui

Per il secondo integrale ho letto che è stato svolto cosi ma non riesco a capire perchè

$int_(0)^(pi) 1/(1+z^2)dz=int_(0)^(pi) (iRe^(it))/(1+Re^(it))^2dt $ e con $R->oo$ è uguale a zero.

Non riesco a capire perchè l'ha svolto cosi...mi aiutate??

[dlbp]

Ho letto gli appunti che seguono e ho pensato che forse l'ha risolto applicando il primo lemma di Jordan....o sbaglio??

[gugo82]

Se posso dire la mia, è stata semplicemente applicata la deifinizione di integrale curvilineo complesso.

Infatti [tex]$z=Re^{\imath t}$[/tex], con [tex]$t\in [0,\pi]$[/tex], è una parametrizzazione del tuo arco di cerchio con [tex]$\text{d} z= \imath Re^{\imath t}\ \text{d} t$[/tex]...
Quello che non capisco è come il denominatore da [tex]$1+z^2=1+R^2 e^{2\imath t}$[/tex] sia diventato [tex]$(1+Re^{\imath t})^2$[/tex].