Integrale in Campo Complesso.
Buonasera,
Descrivo qui di seguito un Esercizio di Analisi Complessa riguardante un Integrale in Campo Complesso da risolversi con la teoria dei Residui.
$ I(z) = \int_{|z-j/2|<1} (e^z-1)/((z^5+2z^3+z) sin(z)) dz $
Ed Ecco il Mio Ragionamento:
Riscrivo L'integrale come : $ I(z) = \int_{|z-j/2|<1} (e^z-1)/(z(z^2+1)^2 sin(z)) dz $
La Curva descritta dalla disequazione pedice dell'integrale e' la circonferenza Di centro $j/2$ e Raggio $r=1$.
Punti di Singolarita' Isolate della funzione integranda sono:
$ Z_0=0 $ (Eliminabile, siccome anche N(z) si annulla per tale valore)
$ Z_1=j $ Polo Doppio.
$ Z_2=-j $ (Da non considerare siccome Esterna alla circonferenza)
I Poli Periodici Dati dal $sinx$ non vengono considerati siccome esterni alla circonferenza (meno per l'origine).
Individuate e Studiate le Singolarita' Procedo con il Calcolo dei Residui Sui Poli Interni alla Circonferenza.
$R_f(z)(0)= [(e^z-1)/((z^2+1)^2 sin(z))]_0 = 0$
$R_f(z)(j)=[(del)/(delz) (e^z-1)/(z(z+j)^2 sin(z))]_j = [ (ze^zsin(z)(z+j) - (e^z-1)[(z+j)sin(z)+zcos(z)(z+j)+2zsin(z)))/(z^2sin^2(z)(z+j)^3) ]_j = ??$
Infine Dovrebbe Risultare
$I(z) = 2pij[R_f(z)(0)+R_f(z)(j)] = 2pij[ ?? ] $
Come Si puo' ben Vedere, ho Delle difficolta' nel calcolare il Secondo Residuo.
Considerando il Secondo Residuo nella sua forma Esplicita:
$R_f(z)(j)=\lim_{z -> j} (ze^zsin(z)(z+j) - (e^z-1)[(z+j)sin(z)+zcos(z)(z+j)+2zsin(z)))/(z^2sin^2(z)(z+j)^3) $
Dovrei Portare gli argomenti delle Funzioni sinusoidali a Zero, per poter applicare le regole dei limiti notevoli (Se ricordo Bene le loro condizioni affinche' possano essere utilizzate), Ma purtroppo non so come fare. In casi simili mi sono trovato dinanzi a situazioni in cui dovevo giocare con gli angoli complementari e supplementari per poter portare gli argomenti a zero, ma li' la z tendeva a multipli e sottomultipli di $pi$ e quindi risultava semplice.
Altrimenti, Dovrei Brutalmente Sostituire la j al posto di tutte le z nel residuo, e accontentarmi della funzione risultante (non molto bella
)
Speranzioso in qualche Dritta Per questa mia Lacuna.
Descrivo qui di seguito un Esercizio di Analisi Complessa riguardante un Integrale in Campo Complesso da risolversi con la teoria dei Residui.
$ I(z) = \int_{|z-j/2|<1} (e^z-1)/((z^5+2z^3+z) sin(z)) dz $
Ed Ecco il Mio Ragionamento:
Riscrivo L'integrale come : $ I(z) = \int_{|z-j/2|<1} (e^z-1)/(z(z^2+1)^2 sin(z)) dz $
La Curva descritta dalla disequazione pedice dell'integrale e' la circonferenza Di centro $j/2$ e Raggio $r=1$.
Punti di Singolarita' Isolate della funzione integranda sono:
$ Z_0=0 $ (Eliminabile, siccome anche N(z) si annulla per tale valore)
$ Z_1=j $ Polo Doppio.
$ Z_2=-j $ (Da non considerare siccome Esterna alla circonferenza)
I Poli Periodici Dati dal $sinx$ non vengono considerati siccome esterni alla circonferenza (meno per l'origine).
Individuate e Studiate le Singolarita' Procedo con il Calcolo dei Residui Sui Poli Interni alla Circonferenza.
$R_f(z)(0)= [(e^z-1)/((z^2+1)^2 sin(z))]_0 = 0$
$R_f(z)(j)=[(del)/(delz) (e^z-1)/(z(z+j)^2 sin(z))]_j = [ (ze^zsin(z)(z+j) - (e^z-1)[(z+j)sin(z)+zcos(z)(z+j)+2zsin(z)))/(z^2sin^2(z)(z+j)^3) ]_j = ??$
Infine Dovrebbe Risultare
$I(z) = 2pij[R_f(z)(0)+R_f(z)(j)] = 2pij[ ?? ] $
Come Si puo' ben Vedere, ho Delle difficolta' nel calcolare il Secondo Residuo.
Considerando il Secondo Residuo nella sua forma Esplicita:
$R_f(z)(j)=\lim_{z -> j} (ze^zsin(z)(z+j) - (e^z-1)[(z+j)sin(z)+zcos(z)(z+j)+2zsin(z)))/(z^2sin^2(z)(z+j)^3) $
Dovrei Portare gli argomenti delle Funzioni sinusoidali a Zero, per poter applicare le regole dei limiti notevoli (Se ricordo Bene le loro condizioni affinche' possano essere utilizzate), Ma purtroppo non so come fare. In casi simili mi sono trovato dinanzi a situazioni in cui dovevo giocare con gli angoli complementari e supplementari per poter portare gli argomenti a zero, ma li' la z tendeva a multipli e sottomultipli di $pi$ e quindi risultava semplice.
Altrimenti, Dovrei Brutalmente Sostituire la j al posto di tutte le z nel residuo, e accontentarmi della funzione risultante (non molto bella
)Speranzioso in qualche Dritta Per questa mia Lacuna.
Risposte
Ciao. Il primo residuo è $1$, non $0$. Per il secondo non puoi semplificarlo portando gli argomenti dei seni a zero, perchè qui il valore del seno è diverso da zero.
Devi quindi sostituire brutalmente. Poi potresti usare le formule di Eulero per riscrivere l'espressione nella forma canonica $a+ib$, ma non viene niente di semplice, a quanto ho visto.
Devi quindi sostituire brutalmente. Poi potresti usare le formule di Eulero per riscrivere l'espressione nella forma canonica $a+ib$, ma non viene niente di semplice, a quanto ho visto.
Grazie Della risposta Robbstark.
Ho rivisto il Primo Residuo e mi sono accorto dell'errore di calcolo.
$R_f(z)(0)=[(e^z-1)/((z^2+1)^2sin(z))]_0 = lim_(z->0)((e^z-1)/z z/sin(z) 1/(z^2+1)^2) = 1 $
Effettivamente Ho commesso l'errore di sostituire brutalmente dove in realta' dovevo ragionare con calma ^^".
Riguardo al Secondo,Ho Sostituito come mi hai consigliato, ed ho ottenuto (Presumendo che i calcoli siano giusti):
$ R_f(z)(j)= (-2e^jsin(j) - (e^j - 1) (4jsin(j) - 2cos(j)) )/(8j sin^2(j)) = (e^jcos(j) - 3je^jsin(j) + 2jsin(j) - cos(j))/(4j sin^2(j)) = e^j[ cos(j)/(4j sin^2(j)) - 3/4 1/sin(j)] + [1/2 1/sin(j) - cos(j)/(4j sin^2(j))] = $
A questo punto sostituisco alle funzioni sin(j) e cos(j) le corrispondendi espressioni esponenziali (Da Eulero):
$ = e^j[ ((e^j+e^(-j))/2 ((2j)/(e^j-e^(-j)))^2 1/(4j)) - 3/4 (2j)/(e^j-e^(-j))] + [1/2 (2j)/(e^j-e^(-j)) - ((e^j+e^(-j))/2 ((2j)/(e^j-e^(-j)))^2 1/(4j))] = $
$ = e^j[ j/2 (e^j+e^(-j))/(e^j-e^(-j))^2 - (3j)/2 1/(e^j-e^(-j))] + [j/(e^j-e^(-j)) - j/2 (e^j+e^(-j))/(e^j-e^(-j))^2] = $
$ = (j(e^(2j)+1)-3j(e^j-e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) + (2j(e^j-e^(-j))-j(e^j+e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) = $
$= (j(e^(2j)+1-e^j+e^(-j)-e^j-e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) = j/2 (e^(2j)-2e^j+1)/(2(e^j-e^(-j))^2) = j/2 (e^j - 1)^2/(e^j-e^(-j))^2 $
Infine:
$ I(z) = 2pij[ R_f(z)(0) + R_f(z)(j)] = 2pij - pi (e^j - 1)^2/(e^j-e^(-j))^2 $
La Strada e' quella giusta?
Ho rivisto il Primo Residuo e mi sono accorto dell'errore di calcolo.
$R_f(z)(0)=[(e^z-1)/((z^2+1)^2sin(z))]_0 = lim_(z->0)((e^z-1)/z z/sin(z) 1/(z^2+1)^2) = 1 $
Effettivamente Ho commesso l'errore di sostituire brutalmente dove in realta' dovevo ragionare con calma ^^".
Riguardo al Secondo,Ho Sostituito come mi hai consigliato, ed ho ottenuto (Presumendo che i calcoli siano giusti):
$ R_f(z)(j)= (-2e^jsin(j) - (e^j - 1) (4jsin(j) - 2cos(j)) )/(8j sin^2(j)) = (e^jcos(j) - 3je^jsin(j) + 2jsin(j) - cos(j))/(4j sin^2(j)) = e^j[ cos(j)/(4j sin^2(j)) - 3/4 1/sin(j)] + [1/2 1/sin(j) - cos(j)/(4j sin^2(j))] = $
A questo punto sostituisco alle funzioni sin(j) e cos(j) le corrispondendi espressioni esponenziali (Da Eulero):
$ = e^j[ ((e^j+e^(-j))/2 ((2j)/(e^j-e^(-j)))^2 1/(4j)) - 3/4 (2j)/(e^j-e^(-j))] + [1/2 (2j)/(e^j-e^(-j)) - ((e^j+e^(-j))/2 ((2j)/(e^j-e^(-j)))^2 1/(4j))] = $
$ = e^j[ j/2 (e^j+e^(-j))/(e^j-e^(-j))^2 - (3j)/2 1/(e^j-e^(-j))] + [j/(e^j-e^(-j)) - j/2 (e^j+e^(-j))/(e^j-e^(-j))^2] = $
$ = (j(e^(2j)+1)-3j(e^j-e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) + (2j(e^j-e^(-j))-j(e^j+e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) = $
$= (j(e^(2j)+1-e^j+e^(-j)-e^j-e^(-j)))/(2(e^j-e^(-j))^2) = j/2 (e^(2j)-2e^j+1)/(2(e^j-e^(-j))^2) = j/2 (e^j - 1)^2/(e^j-e^(-j))^2 $
Infine:
$ I(z) = 2pij[ R_f(z)(0) + R_f(z)(j)] = 2pij - pi (e^j - 1)^2/(e^j-e^(-j))^2 $
La Strada e' quella giusta?
Compito di Ferone/Trombetti di settembre, se non erro.
Ad ogni modo, faccio notare a Panda che la singolarità in [tex]$0$[/tex] non è affatto eliminabile, ma è un polo d'ordine [tex]$1$[/tex].
Infatti il numeratore ha in [tex]$0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$p=1$[/tex], mentre il denominatore ha in [tex]$0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$q=2$[/tex]; pertanto, visto che [tex]$q>p$[/tex], abbiamo un polo in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$q-p=2-1=1$[/tex].
P.S.: Facendo lo stesso esercizio con alcuni studenti, mi sono accorto che c'è anche qualcuno ha il coraggio di dire che [tex]$0$[/tex] è un polo d'ordine [tex]$5$[/tex] per la funzione integranda (chissà, forse guardano solo il grado del polinomio a denominatore e se ne fregano del resto? Mah!)... Quindi, mi raccomando, leggiti la teoria prima di fare gli esercizi.
Ad ogni modo, faccio notare a Panda che la singolarità in [tex]$0$[/tex] non è affatto eliminabile, ma è un polo d'ordine [tex]$1$[/tex].
Infatti il numeratore ha in [tex]$0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$p=1$[/tex], mentre il denominatore ha in [tex]$0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$q=2$[/tex]; pertanto, visto che [tex]$q>p$[/tex], abbiamo un polo in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$q-p=2-1=1$[/tex].
P.S.: Facendo lo stesso esercizio con alcuni studenti, mi sono accorto che c'è anche qualcuno ha il coraggio di dire che [tex]$0$[/tex] è un polo d'ordine [tex]$5$[/tex] per la funzione integranda (chissà, forse guardano solo il grado del polinomio a denominatore e se ne fregano del resto? Mah!)... Quindi, mi raccomando, leggiti la teoria prima di fare gli esercizi.
Grazie Gugo Per la Correzione.
E' vero, e' il compito di Ferone di Settembre
Mi Sono esercitato fino ad ora con esercizi di "stile" differente da questi, quindi incontrando nuove tipologie di problemi e nuove difficolta', riesco a capire bene dov'e' che sono ancora impreparato.
E questo ne e' l'esempio lampante. Seguiro' il tuo consiglio e andro' a rileggermi per bene l'argomento.
Grazie dell'aiuto.
E' vero, e' il compito di Ferone di Settembre
Mi Sono esercitato fino ad ora con esercizi di "stile" differente da questi, quindi incontrando nuove tipologie di problemi e nuove difficolta', riesco a capire bene dov'e' che sono ancora impreparato.
E questo ne e' l'esempio lampante. Seguiro' il tuo consiglio e andro' a rileggermi per bene l'argomento.
Grazie dell'aiuto.
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