Integrale in campo complesso
Salve,
vorrei controllare lo svolgimento di un esercizio.
Ho la seguente rappresentazione integrale: $F(z) = int_(gamma) w/((w + 1 - i)(w - z)) dw$, dove $gamma$ è il segmento che va da $w_1 = - i$
a $w_2 = 1$. Devo trovare l'espressione esplicita di $F(z)$.
Ho iniziato dividendo l'integrando in due frazioni: $A/(w + 1 -i) + B/(w - z) = (A(w - z) + B(w + 1 - i))/((w + 1 - i)(w - z))$
Da qui ottengo il sistema:
$A + B = 1$
$-zA + B -iB = 0$ che mi dà $A = (1 - i)/(1 - i + z)$ e $B = z/(1 - i + z)$
Ora risolvo separatamente i due integrali (per ora trascuro i coefficienti $A$ e $B$ che aggiungerò dopo):
$int_(gamma) (dw)/(w + 1 - i) = ln(w + 1 - i)|_(gamma)$. Pongo $u = w + 1 - i$, da cui ho gli estremi di integrazione $u_1 = 1 - 2i$ e $u_2 = 2 - i$.
Rappresento $u$ in forma euleriana: $u = rho e^(i theta)$. Definisco $theta$ in modo da avere la discontinuità di $2 pi$ nel sempiano superiore, dove non
c'è $gamma$: $theta = arctg (y/x) + alpha$, con $alpha = pi$ nel primo e nel quarto quadrante e $alpha = 0$ nel secondo e nel quarto quadrante ($x$ e
$y$ sono le parti reale ed immaginaria di $u$).
Posso scrivere $ln u|_(gamma) = ln rho|_(gamma) + i theta|_(gamma)$. Gli estremi di integrazione sono:
$rho_1 = sqrt(5)$, $rho_2 = sqrt(5)$, $theta_1 = arctg(-2) + pi$ e $theta_2 = arctg(-1/2) + pi$, per cui il primo integrale (aggiungendo $A$) è:
$((1 - i)i)/(1 - i + z) (arctg(-1/2) - arctg(-2)) = ((1 - i)i)/(1 - i + z) arctg(3/4)$ (ho usato la formula di sottrazione della tangente).
Il secondo lo risolvo in modo analogo: $int_(gamma) (dw)/(w - z) = ln(w - z)|_(gamma)$.
Pongo $u = w - z$, da cui $u_1= - i - z$ e $u_2 = 1 - z$. Passando alla rappresentazione euleriana, ho $rho_1 = sqrt(z^2 + 1)$,
$rho_2 = 1 - z$, $theta_1 = arctg(1/z) + pi$ e $theta_2 = pi$.
Quindi $ln u|_(gamma) = ln rho|_(gamma) + i theta|_(gamma) = ln (1 - z)/(z^2 + 1) - i arctg(1/z)$
A questo punto devo moliplicare per $B$ e sommare tutto al primo integrale.
C'è qualche errore di calcolo e/o di ragionamento? Sò che questo post è un pò lungo, ma vi prego di aiutarmi perchè è il mio primo esercizio di questo tipo.
Grazie a tutti.
vorrei controllare lo svolgimento di un esercizio.
Ho la seguente rappresentazione integrale: $F(z) = int_(gamma) w/((w + 1 - i)(w - z)) dw$, dove $gamma$ è il segmento che va da $w_1 = - i$
a $w_2 = 1$. Devo trovare l'espressione esplicita di $F(z)$.
Ho iniziato dividendo l'integrando in due frazioni: $A/(w + 1 -i) + B/(w - z) = (A(w - z) + B(w + 1 - i))/((w + 1 - i)(w - z))$
Da qui ottengo il sistema:
$A + B = 1$
$-zA + B -iB = 0$ che mi dà $A = (1 - i)/(1 - i + z)$ e $B = z/(1 - i + z)$
Ora risolvo separatamente i due integrali (per ora trascuro i coefficienti $A$ e $B$ che aggiungerò dopo):
$int_(gamma) (dw)/(w + 1 - i) = ln(w + 1 - i)|_(gamma)$. Pongo $u = w + 1 - i$, da cui ho gli estremi di integrazione $u_1 = 1 - 2i$ e $u_2 = 2 - i$.
Rappresento $u$ in forma euleriana: $u = rho e^(i theta)$. Definisco $theta$ in modo da avere la discontinuità di $2 pi$ nel sempiano superiore, dove non
c'è $gamma$: $theta = arctg (y/x) + alpha$, con $alpha = pi$ nel primo e nel quarto quadrante e $alpha = 0$ nel secondo e nel quarto quadrante ($x$ e
$y$ sono le parti reale ed immaginaria di $u$).
Posso scrivere $ln u|_(gamma) = ln rho|_(gamma) + i theta|_(gamma)$. Gli estremi di integrazione sono:
$rho_1 = sqrt(5)$, $rho_2 = sqrt(5)$, $theta_1 = arctg(-2) + pi$ e $theta_2 = arctg(-1/2) + pi$, per cui il primo integrale (aggiungendo $A$) è:
$((1 - i)i)/(1 - i + z) (arctg(-1/2) - arctg(-2)) = ((1 - i)i)/(1 - i + z) arctg(3/4)$ (ho usato la formula di sottrazione della tangente).
Il secondo lo risolvo in modo analogo: $int_(gamma) (dw)/(w - z) = ln(w - z)|_(gamma)$.
Pongo $u = w - z$, da cui $u_1= - i - z$ e $u_2 = 1 - z$. Passando alla rappresentazione euleriana, ho $rho_1 = sqrt(z^2 + 1)$,
$rho_2 = 1 - z$, $theta_1 = arctg(1/z) + pi$ e $theta_2 = pi$.
Quindi $ln u|_(gamma) = ln rho|_(gamma) + i theta|_(gamma) = ln (1 - z)/(z^2 + 1) - i arctg(1/z)$
A questo punto devo moliplicare per $B$ e sommare tutto al primo integrale.
C'è qualche errore di calcolo e/o di ragionamento? Sò che questo post è un pò lungo, ma vi prego di aiutarmi perchè è il mio primo esercizio di questo tipo.
Grazie a tutti.
Risposte
Sto studiando anche io analisi complessa. Da quello che ho capito io sullo svolgimento di questi esercizi, come prima cosa devi parametrizzare il segmento che ti hanno dato. I cambi di variabili (almeno per quello che riguardano i miei esercizi) non sono sempre utili al fine della soluzione. Ci sono ovviamente le eccezioni, non prendere le mie parole come oro colato, sono ben lungido dalla "verità" 
Tornando all'esercizio, la retta parametrica dovrebbe essere data da $ z(t)= (w_2 - w_1)t => z(t) = (1+i)t => z'(t)= 1+i$
Adesso al tuo integrale dovresti sostituire tutte le w (io le chiamo z) ed avere un integrale in $dt$ su un intervallo [0,1].
Se fai i calcoli al denominatore e poi elimini gli eventuali numeri immaginari ti dovresti ritrovare in un semplice integrale in una variabile con i solo al numeratore. Infine chiudi l'esercizio tirando fuori le costanti e integrando (praticamente solo) su 1.
Tornando all'esercizio, la retta parametrica dovrebbe essere data da $ z(t)= (w_2 - w_1)t => z(t) = (1+i)t => z'(t)= 1+i$
Adesso al tuo integrale dovresti sostituire tutte le w (io le chiamo z) ed avere un integrale in $dt$ su un intervallo [0,1].
Se fai i calcoli al denominatore e poi elimini gli eventuali numeri immaginari ti dovresti ritrovare in un semplice integrale in una variabile con i solo al numeratore. Infine chiudi l'esercizio tirando fuori le costanti e integrando (praticamente solo) su 1.
Ti ringrazio della risposta.
Anch'io conosco il metodo della parametrizzazione, ma qui ho scelto di non utilizzarlo di proposito.
Parametrizzando, infatti, mi riconduco al caso "standard" già noto di un integrale di variabile reale, mentre io ho cercato di affrontare il tutto solo nel campo complesso sfruttando il concetto di primitiva di una funzione complessa.
I miei timori nascono dal fatto che le funzioni complesse (il logaritmo in particolare) vanno trattate con attenzione per via della polidromia, della discontinuità dell'argomento e altre problematiche del genere.
Anch'io conosco il metodo della parametrizzazione, ma qui ho scelto di non utilizzarlo di proposito.
Parametrizzando, infatti, mi riconduco al caso "standard" già noto di un integrale di variabile reale, mentre io ho cercato di affrontare il tutto solo nel campo complesso sfruttando il concetto di primitiva di una funzione complessa.
I miei timori nascono dal fatto che le funzioni complesse (il logaritmo in particolare) vanno trattate con attenzione per via della polidromia, della discontinuità dell'argomento e altre problematiche del genere.
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