Integrale in campo complesso

[pippo14]

Ciao a tutti non riesco a capire la risoluzione di questo integrale, in particolare il primo passaggio:

L'esercizio è il seguente:

Mostrare che $\int_\-infty^\infty cos(x)/ (x^2 + a^2) dx = \pi * e^(-a) / a$

Al primo passaggio viene considerata la funzione $ f(z) = e^(iz) / (z^2 + a) $.

Non capisco se e come viene utilizzata la relazione $cosz = (e^(iz) + e^-(iz))/2$

Mi aspetterei di trovare $f(z) = (e^(iz) + e^-(iz))/ (2*(z^2 + a))$ ma così non è

Sapete spiegarmi il motivo?
Poi il resto dell'esercizio del calcolo dell'integrale sulla semicirconferenza è chiaro, ma non riesco a spiegarmi questo passaggio

[Wilde1]

In questo caso usa la relazione
\[
e^{iz}=cos(z)+isen(z)
\]
Poi alla fine prende solo la parte reale, cioe' quello che ci interessa

[pippo14]

Ok, quindi potrei fare tutto il ragionamento con
\[
e^{iz}=\cos(z)+i\ sen(z)
\]
e poi escludere la parte immaginaria alla fine giusto?
Ma mi limito a non considerare la parte immaginaria o devo eliderla in qualche modo /con qualche giustificazione?

[Wilde1]

$ \int_\-infty^\infty cos(x)/ (x^2 + a^2) dx = Re \int_\-infty^\infty e^(iz) / (z^2 + a) $

[pippo14]

Invece scusami, se devo calcolare questo tipo di integrale?

$\int_\-infty^\infty sinh(ax) / sinh(x) * e^(ix \xi) dx = (\pi*sin ( \pi a) ) / (cosh ( \pi \xi) + cos( \pi * a)$ con $a in (0,1)$ e soprattutto in generale, come faccio a capire su quale superficie è meglio integrare, tra semicirconferenza - rettangolo - "buco di serratura"?