Integrale in campo complesso.
Salve a tutti. Sto studiando metodi matematici per la fisica e ho incontrato questo problema:
Calcolare il seguente integrale utilizzando l'integrazione complessa per tutti i valori \(a \in R\)
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\frac{\pi}{4}ax)}{x^2-4}\,dx\)
Calcolare il valore non è difficile utilizzando i vari teoremi dell'analisi complessa ma una cosa non mi è chiara.
Nella soluzione il professore esordisce dicendo che l'integrale converge solo per i valori di \(a\) in cui si annulla il numeratore in corrispondenza di \(x=\pm2\), ovvero per \(a=2k+1\) con \(k \in Z\).
Non capisco da dove ha tirato fuori questa affermazione.
Grazie!
Calcolare il seguente integrale utilizzando l'integrazione complessa per tutti i valori \(a \in R\)
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\frac{\pi}{4}ax)}{x^2-4}\,dx\)
Calcolare il valore non è difficile utilizzando i vari teoremi dell'analisi complessa ma una cosa non mi è chiara.
Nella soluzione il professore esordisce dicendo che l'integrale converge solo per i valori di \(a\) in cui si annulla il numeratore in corrispondenza di \(x=\pm2\), ovvero per \(a=2k+1\) con \(k \in Z\).
Non capisco da dove ha tirato fuori questa affermazione.
Grazie!
Risposte
$\int_{a}^{b}\frac{1}{x^2-4}dx$ non converge se $+-2 \in [a,b]$
Ricordi che $\int_{0}^{1} 1/x^2 dx$ non convergeva
Ricordi che $\int_{0}^{1} 1/x^2 dx$ non convergeva
Mi sfugge qualche passaggio. Se io procedo direttamente in campo complesso, senza analizzare \(a\) arrivo subito (si fa per dire) alla soluzione \(I=-\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}|a|)\) con \(a\in R\).
Invece dovrei prima discutere \(a\) e quindi arrivare alla soluzione corretta \(I=-\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}|a_k|)\) con \(a_k=2k+1\) e \(k\in Z\).
Se passo direttamente in campo complesso quello che trovo è questo
\(\int_{-R}^{-2-\epsilon} \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+\(\int_{-2+\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+\(\int_{2+\epsilon}^R \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+...
dove i puntini indicano i restanti integrali sui segmenti e sulla semicirconferenza nel semipiano \(Im z >0\) che insieme danno la soluzione.
A questo punto passo al limite \(R\to\infty\) e \(\epsilon \to 0\), metto insieme i 3 integrali e prendo la parte reale. E arrivo alla soluzione. O forse non posso mettere insieme quei 3 integrali a causa delle discontinuità e quindi è qui l'inghippo?
Invece dovrei prima discutere \(a\) e quindi arrivare alla soluzione corretta \(I=-\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}|a_k|)\) con \(a_k=2k+1\) e \(k\in Z\).
Se passo direttamente in campo complesso quello che trovo è questo
\(\int_{-R}^{-2-\epsilon} \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+\(\int_{-2+\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+\(\int_{2+\epsilon}^R \frac{cos(\frac{\pi}{4}az)}{z^2-4}\)+...
dove i puntini indicano i restanti integrali sui segmenti e sulla semicirconferenza nel semipiano \(Im z >0\) che insieme danno la soluzione.
A questo punto passo al limite \(R\to\infty\) e \(\epsilon \to 0\), metto insieme i 3 integrali e prendo la parte reale. E arrivo alla soluzione. O forse non posso mettere insieme quei 3 integrali a causa delle discontinuità e quindi è qui l'inghippo?
Si è proprio la discontinuità il problema lì se il numeratore non si annulla (trasformando la discontinuità in eliminabile) l'integrale non converge (o meglio l'integrale improprio è indefinito)...pensaci
Si fin qui ci sono. Non trovo un modo rigoroso per dimostrarlo. Che criterio bisognerebbe usare per dire che l'integrale non converge (o meglio che converge se) ?
Penso che il tuo professore avrebbe dovuto spenderci un pò più di tempo su questa cosa. A parte questo, ti rimando ad una discussione di qualche mese fa dove prendiamo in esame un caso simile:
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=147805&p=929613&hilit=Integrali+impropri&sid=ceda72b30f83be5cf3e1830d6bd82f3a&sid=696e724c6a5448cb0a04ea28991056bc#p929613
In realtà quel integrale che trovi nella discussione non converge (nel caso $0il valore principale di Cauchy.
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=147805&p=929613&hilit=Integrali+impropri&sid=ceda72b30f83be5cf3e1830d6bd82f3a&sid=696e724c6a5448cb0a04ea28991056bc#p929613
In realtà quel integrale che trovi nella discussione non converge (nel caso $0
Ho visto la discussione ed è molto chiara. Il caso limite 0 è stato trattato con il confronto asintotico, il caso \(01\) da un integrale proprio.
Il caso \(a=1\) è esattamente analogo al caso in questione nel mio integrale e tratta di discontinuità eliminabile. In effetti concludete dicendo che esiste finito il limite nel punto critico e quindi l'integrale converge. E' proprio questo fatto che mi manca (o che non ricordo): perché concludete dicendo che converge sapendo che il limite esiste?
Scusate se vi disturbo ma ho ripreso in mano questi argomenti dopo anni. Sto studiando per la seconda laurea e l'esame di Analisi 2 l'ho dato mooolto tempo fa...
Il caso \(a=1\) è esattamente analogo al caso in questione nel mio integrale e tratta di discontinuità eliminabile. In effetti concludete dicendo che esiste finito il limite nel punto critico e quindi l'integrale converge. E' proprio questo fatto che mi manca (o che non ricordo): perché concludete dicendo che converge sapendo che il limite esiste?
Scusate se vi disturbo ma ho ripreso in mano questi argomenti dopo anni. Sto studiando per la seconda laurea e l'esame di Analisi 2 l'ho dato mooolto tempo fa...
Le nostre due discontinuità diventano eliminabili solo se si annulla il numeratore, perché quando vai a fare il limite destro e sinistro in effetti ti viene finito dunque la funzione è limitata in un intervallo limitato non ha quindi senso porci il problema di integrazione, più che altro non ci sono le condizioni per farlo. Invece per valori di $a$ che non annullano in numeratore l'integrale improprio non è definito e quindi non si può parlare di convergenza, e dunque di un valore esatto, ma solo di valore principale di Cauchy, appunto.
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