Integrale in campo complesso
Salve a tutti, come state?
Sto preparando l'esame di Metodi matematici per la fisica, in particolare sono alle prese con esercizi di analisi complessa.
Guardando le vecchie prove d'esame, mi sono imbattuto in questo esercizio:
Calcolare l'integrale complesso:
$ int_(C) z^2 / (z^3+2z^2+2z) dz $
Dove C è la circonferenza definita da $ |z| = 3/2 $
Ciò che mi viene da fare è verificare l'analiticità della funzione integranda sfruttando le condizioni di Cauchy-Riemann; fatto questo per il teorema di Cauchy l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa dovrebbe dare zero.
Ho il sospetto di aver sbagliato qualcosa, perché mi sembra troppo banale come risultato.
Voi che ne pensate?
Sto preparando l'esame di Metodi matematici per la fisica, in particolare sono alle prese con esercizi di analisi complessa.
Guardando le vecchie prove d'esame, mi sono imbattuto in questo esercizio:
Calcolare l'integrale complesso:
$ int_(C) z^2 / (z^3+2z^2+2z) dz $
Dove C è la circonferenza definita da $ |z| = 3/2 $
Ciò che mi viene da fare è verificare l'analiticità della funzione integranda sfruttando le condizioni di Cauchy-Riemann; fatto questo per il teorema di Cauchy l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa dovrebbe dare zero.
Ho il sospetto di aver sbagliato qualcosa, perché mi sembra troppo banale come risultato.
Voi che ne pensate?
Risposte
E che mi dici dei punti singolari e del teorema dei residui?
Hai ragione, domanda stupida. z=0 è una singolarità isolata, quindi l'integrale è uguale a $ 2pii $ volte il residuo della funzione nel punto z=0, che è uguale al coefficiente della potenza -1esima dello sviluppo di Laurent. E' giusto? Se svolgo il calcolo mi aiuteresti a verificare che è giusto?
Ho bisogno di riguardare con calma alcune cose. Grazie per la risposta, tornerò con la soluzione 
"Ingenium":
Hai ragione, domanda stupida. z=0 è una singolarità isolata, quindi l'integrale è uguale a $ 2pii $ volte il residuo della funzione nel punto z=0, che è uguale al coefficiente della potenza -1esima dello sviluppo di Laurent. E' giusto?
Ma fosse solo lo \(0\) il problema...
"Ingenium":
Se svolgo il calcolo mi aiuteresti a verificare che è giusto?
Certo.
"gugo82":
[quote="Ingenium"]Hai ragione, domanda stupida. z=0 è una singolarità isolata, quindi l'integrale è uguale a $ 2pii $ volte il residuo della funzione nel punto z=0, che è uguale al coefficiente della potenza -1esima dello sviluppo di Laurent. E' giusto?
Ma fosse solo lo \(0\) il problema...
"Ingenium":
Se svolgo il calcolo mi aiuteresti a verificare che è giusto?
Certo.[/quote]
Eccomi, innanzitutto buona Pasqua! Oggi tra tagliatelle e roccobabbà (gugo ho visto che sei di Napoli, mi capirai) mi dedico alla matematica. Ho dovuto riguardare alcune cose, ero un po' confuso; ho svolto l'esercizio, procediamo con calma.
Innanzitutto ho banalmente semplificato la funzione integranda, l'integrale diventa $ oint_(C) z/ (z^2 +2z +2) dz $
Ho trovato gli zeri del denominatore, ne ho dedotto che la funzione è analitica, poiché rapporto tra analitiche,
nel campo $ C -{z=-1+- i} $
Queste sono singolarità isolate, interne alla circonferenza, da classificare.
Riscrivo l'integrale come $ oint_(C) z/ ((z+1-i)(z+1+i)) dz $
Svolgo i limiti:
$ lim_(z -> -1 -+i) z(z+1+-i)/ ((z+1-i)(z+1+i)) $
Che restituiscono $ (-1+i)/(2i) $ e $ (1+i)/(2i) $ . Essendo i limiti finiti, le singolarità sono poli del primo ordine e dunque le quantità trovate sono proprio i residui della funzione relativi ai poli.
Per il teorema dei residui, l'integrale sarà uguale a:
$ 2pii((1+i)/(2i) + (-1+i)/(2i))=2pii $
Spero di aver fatto tutto bene! Grazie per la disponibilità, aspetto riscontri
Mi sembra tutto ok.
Grazie
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