Integrale in C
ciao a tutti!
mi date una mano a risolvere questo integrale?
calcolare inttegrale di (1-e^(2ix))/(2x^2) tra meno e più infinito...
sto tentando di farlo col lemma di jordan e il teorema dei residui ma nn riesco a separare f(z) da e^(i2z)... qualche suggerimento?
grazie
matt
Matteo
mi date una mano a risolvere questo integrale?
calcolare inttegrale di (1-e^(2ix))/(2x^2) tra meno e più infinito...
sto tentando di farlo col lemma di jordan e il teorema dei residui ma nn riesco a separare f(z) da e^(i2z)... qualche suggerimento?
grazie
matt
Matteo
Risposte
L'integrale diverge; è il pezzo in 1/2x^2 che fa sto brutto scherzo.
Marco
Marco
ma come? il prof me lo aveva dato come calcolabile! uhmmm....
Matteo
Matteo
immagino che l'integrale deve essere calcolato nal senso del valore principale di cauchy
la funzione da integrare ha in z = 0 un polo di ordine 1
si può utilizzare come circuito lo stesso che viene utilizzato per calcolare l'integrale di sen x /x , ovvero una semicirconferenza di raggio R e centro 0 con dentro una semicirconferenza attorno al polo 0 di raggio k (in genere si usa la lettera epslon)
l'integrale sulla semicirconferanza di raggio R può essere spezzato come differenza di due integrali:
il secondo (quello che contiene e^(i2z)) tende a zero per il lemma di jordan, il primo integrale (quello che contiene 1/z^2) è maggiorato da Pi * R/R^2 che tende a zero per R che tende a infinito
infatti l'integrale di 1/z^2 sulla semicirconferenza z = R*e^(i*theta)
è dato da
int [0 < theta < Pi]R* e^(i*theta)*i/ [R^2*e^(i*2theta)] (1)
poichè |int f(z)| < int |f(z)| si ha
| (1) | < int [0 < theta < Pi]R /R^2 =Pi R/R^2 = Pi/R
la funzione da integrare ha in z = 0 un polo di ordine 1
si può utilizzare come circuito lo stesso che viene utilizzato per calcolare l'integrale di sen x /x , ovvero una semicirconferenza di raggio R e centro 0 con dentro una semicirconferenza attorno al polo 0 di raggio k (in genere si usa la lettera epslon)
l'integrale sulla semicirconferanza di raggio R può essere spezzato come differenza di due integrali:
il secondo (quello che contiene e^(i2z)) tende a zero per il lemma di jordan, il primo integrale (quello che contiene 1/z^2) è maggiorato da Pi * R/R^2 che tende a zero per R che tende a infinito
infatti l'integrale di 1/z^2 sulla semicirconferenza z = R*e^(i*theta)
è dato da
int [0 < theta < Pi]R* e^(i*theta)*i/ [R^2*e^(i*2theta)] (1)
poichè |int f(z)| < int |f(z)| si ha
| (1) | < int [0 < theta < Pi]R /R^2 =Pi R/R^2 = Pi/R
@piera: grazie mille per l'aiuto
mea culpa! è vero! mi era richiesto di calcolare il valore principale e nn l'ho scritto...
ma tu per farlo l'hai diviso in due parti l'integrale? cioè... hai fatto integrale di 1/2x^2 + integrale di e^(2ix)/(2x^2) ?
il mio prof mi ha detto che NON posso spezzare l'integrale in due parti e questo è il motivo per cui nn sono capace di farlo...
Matteo
mea culpa! è vero! mi era richiesto di calcolare il valore principale e nn l'ho scritto...
ma tu per farlo l'hai diviso in due parti l'integrale? cioè... hai fatto integrale di 1/2x^2 + integrale di e^(2ix)/(2x^2) ?
il mio prof mi ha detto che NON posso spezzare l'integrale in due parti e questo è il motivo per cui nn sono capace di farlo...
Matteo
cmq ho perfettamente capito la tua risposta, mi è stata utilissima perchè conferma che quello che hai scritto è proprio quello che avrei fatto se il prof non mi avesse detto che nn si può spezzare... cmq domani lo sento e gli chiedo perchè non posso farlo spezzandolo (ovviamente ti faccio sapere)
GRAZIE!
Matteo
GRAZIE!
Matteo
si ho fatto cosi, sostituendo z=R*e^(i*theta), cioè l'equazione della circonferenza
l'integrale sulla semicirconferenza di raggio R può essere spezzato in due parti
credo che il tuo prof si riferisse all'integrale sulla semicirconferenza minore (quella di raggio epslon)
l'integrale sulla semicirconferenza di raggio R può essere spezzato in due parti
credo che il tuo prof si riferisse all'integrale sulla semicirconferenza minore (quella di raggio epslon)
pare che abbia qualcosa su cui dormire questa notte 
grazie mille per l'aiuto!
Matteo
grazie mille per l'aiuto!
Matteo
per essere chiari, io ho solo spezzato in due parti l'integrale sulla semicirconferenza di raggio R per dimostrare che l'integrale tende a zero, gli altri integrali no
voglio aggiungere che questo integrale è svolto sul libro di gilardi analisi 3 (forse è il tuo libro di testo)e per dimostrare che il limite dell'integrale sulla semicirconferenza di raggio R è zero spezza l'integrale
il risultato dell'integrale è Pi
voglio aggiungere che questo integrale è svolto sul libro di gilardi analisi 3 (forse è il tuo libro di testo)e per dimostrare che il limite dell'integrale sulla semicirconferenza di raggio R è zero spezza l'integrale
il risultato dell'integrale è Pi
non ho un libro di testo adesso come adesso, vedrò di procurarmi quello che mi hai consigliato 
grazie per la precisazione, matteo
Matteo
grazie per la precisazione, matteoMatteo
si, consultalo in biblioteca ma non comprarlo
la parte dedicata a questi argomenti è solo poche pagine, magari le puoi fotocopiare
sempre in biblioteca puoi consultare il libro di esercizi svolti "variabili complesse" della collana schaum's
sono tutti libri fatti bene però non sapendo quello che stai studiando può darsi che non ti servano molto
la parte dedicata a questi argomenti è solo poche pagine, magari le puoi fotocopiare
sempre in biblioteca puoi consultare il libro di esercizi svolti "variabili complesse" della collana schaum's
sono tutti libri fatti bene però non sapendo quello che stai studiando può darsi che non ti servano molto
allora chiederò al mio professore cosa mi consiglia.. lui sa sicuramente meglio di me cosa dobbiamo fare
Matteo
Matteo
Attendendo un attimo prima di scomodare il signor Jordan e invocare il teorema dei residui si potrebbe ricorrere in via preliminare alla trigonometria. Dal momento che è…
e^(2*j*x) = cos (2x) + j* sin(2x) (1)
… e che è…
cos (2x) = 1-2*sin(x)^2
sin(2x)=2*sin x * cos x (2)
… l’integrale può essere spezzato in ‘parte reale’ e ‘parte immaginaria’…
Int [-oo
La ‘parte reale’ è trattabile in maniera ‘standard’ utilizzando la stessa procedura usata per l’integrale da –oo a +oo di sin x/x e si trova [se ben ricordo…] che l’integrale vale pi greca. La ‘parte immaginaria’ è un poco più controversa in quanto presenta una singolarità in x=0. E’ sufficiente il fatto che la funzione da integrare sia ‘dispari’ [ossia è f(x)=-f(-x)…] per concludere che l’integrale vale zero?…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. Spero che non dispiaccia se approfitto di questa risposta per una fare una 'prova'... Vediamo un poco come risulta l'immagine seguente...
e^(2*j*x) = cos (2x) + j* sin(2x) (1)
… e che è…
cos (2x) = 1-2*sin(x)^2
sin(2x)=2*sin x * cos x (2)
… l’integrale può essere spezzato in ‘parte reale’ e ‘parte immaginaria’…
Int [-oo
La ‘parte reale’ è trattabile in maniera ‘standard’ utilizzando la stessa procedura usata per l’integrale da –oo a +oo di sin x/x e si trova [se ben ricordo…] che l’integrale vale pi greca. La ‘parte immaginaria’ è un poco più controversa in quanto presenta una singolarità in x=0. E’ sufficiente il fatto che la funzione da integrare sia ‘dispari’ [ossia è f(x)=-f(-x)…] per concludere che l’integrale vale zero?…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. Spero che non dispiaccia se approfitto di questa risposta per una fare una 'prova'... Vediamo un poco come risulta l'immagine seguente...
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