Integrale in $[-1,1]$ di $1/x$
$int_{-1}^1 dx/x$ non è uguale a 0, essendo l'integranda dispari?
perchè ho letto che è indefinito, e questo mi turba un po'...
perchè ho letto che è indefinito, e questo mi turba un po'...
Risposte
Perché ti turba? 
La funzione non è limitata quindi integrale di Riemann nisba.
Allora si passa agli integrali impropri. E sarebbe una piccola sciagura dire che l'integrale fra -1 e 1 c'è, mentre quelli fra -1 e 0 e fra 0 e 1 non ci sono. A parte la stranezza, l'additività sul campo che fine fa?
Se poi parli di Lebesgue, il sugo resta lo stesso.
La funzione non è limitata quindi integrale di Riemann nisba.
Allora si passa agli integrali impropri. E sarebbe una piccola sciagura dire che l'integrale fra -1 e 1 c'è, mentre quelli fra -1 e 0 e fra 0 e 1 non ci sono. A parte la stranezza, l'additività sul campo che fine fa?
Se poi parli di Lebesgue, il sugo resta lo stesso.
Prova a vedere cosa accade per queste due somme:
$int_(-1)^(-1/n) 1/x dx + int_(1/n^2)^(1) 1/x dx$ ;
$int_(-1)^(-1/n^2) 1/x dx + int_(1/n)^(1) 1/x dx$
$int_(-1)^(-1/n) 1/x dx + int_(1/n^2)^(1) 1/x dx$ ;
$int_(-1)^(-1/n^2) 1/x dx + int_(1/n)^(1) 1/x dx$
Quello che viene $0$ è l'integrale di $1/x$ nel senso del valore principale (di Cauchy), ossia:
$"V.P."\int_(-1)^1 1/x" d"x:=\lim_(r\to 0^+) \int_(-1)^(-r) 1/x" d"x + \int_r^1 1/x" d"x$
(nota che stai escludendo da $[-1,1]$ un intervallo del tipo $[-r,r]$ simmetrico risp. a $0$ e poi passi al limite per $r\to 0^+$)
L'integrale improprio, che è definito come il:
$lim_(r\to 0^+) \int_(-1)^(-r) 1/x" d"x + lim_(R\to 0^+) \int_R^1 1/x " d"x$
(invece qui stai escludendo da $[-1,1]$ un qualsiasi intervallo $[-r,R]$ contenente $0$ per poi passare al limite per $r,R\to 0^+$ facendo variare indipendentemente $r$ ed $R$), non esiste poichè hai una forma indeterminata del tipo $oo-oo$.
Questo fatto, come vedi non è casuale: infatti l'integrale a valor principale è un particolare integrale improprio e la sua esistenza è solo necessaria all'esistenza dell'integrale improprio.
$"V.P."\int_(-1)^1 1/x" d"x:=\lim_(r\to 0^+) \int_(-1)^(-r) 1/x" d"x + \int_r^1 1/x" d"x$
(nota che stai escludendo da $[-1,1]$ un intervallo del tipo $[-r,r]$ simmetrico risp. a $0$ e poi passi al limite per $r\to 0^+$)
L'integrale improprio, che è definito come il:
$lim_(r\to 0^+) \int_(-1)^(-r) 1/x" d"x + lim_(R\to 0^+) \int_R^1 1/x " d"x$
(invece qui stai escludendo da $[-1,1]$ un qualsiasi intervallo $[-r,R]$ contenente $0$ per poi passare al limite per $r,R\to 0^+$ facendo variare indipendentemente $r$ ed $R$), non esiste poichè hai una forma indeterminata del tipo $oo-oo$.
Questo fatto, come vedi non è casuale: infatti l'integrale a valor principale è un particolare integrale improprio e la sua esistenza è solo necessaria all'esistenza dell'integrale improprio.
"Gugo82":
Quello che viene $0$ è l'integrale di $1/x$ nel senso del valore principale (di Cauchy).
già, stavo facendo un bel po' di confusione...
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