Integrale improrpio di prima specie.
Buongiorno,
ho il seguente integrale, preso su internet dove non specifica di preciso se determinare il carattere dell'integrale, oppure qualora fosse possibile determinare il valore del seguente integrale, cioè:
$int_-4^(+infty)|x^2-16|e^-(4x) dx$
Da poco sto studiando la teoria sugli integrali impropri, volevo chiedervi:
Se volessi determinare il carattere dell'integrale, procedo nel seguente modo:
verifico se è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza cioè :
1) $lim_(x to infty) f(x)=0$
se sussiste la 1), procedo con i diversi criteri di convegernza, in particolare:
in un intorno di $+ infty$ sussistono le seguenti equivalenze asintotiche, in particolare:
$f(x)=|x^2-16|e^-(4x) $ \(\displaystyle \sim \)$ |x^2|e^-x=x^2e^-x $.
Allora per $x to infty$ si ha $ f(x) to infty$, quindi dalla 1) ne segue che l'integrale è divergente, quindi non occore procedere con i criteri di convegenza.
E' corretto?
Cordiali saluti.
ho il seguente integrale, preso su internet dove non specifica di preciso se determinare il carattere dell'integrale, oppure qualora fosse possibile determinare il valore del seguente integrale, cioè:
$int_-4^(+infty)|x^2-16|e^-(4x) dx$
Da poco sto studiando la teoria sugli integrali impropri, volevo chiedervi:
Se volessi determinare il carattere dell'integrale, procedo nel seguente modo:
verifico se è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza cioè :
1) $lim_(x to infty) f(x)=0$
se sussiste la 1), procedo con i diversi criteri di convegernza, in particolare:
in un intorno di $+ infty$ sussistono le seguenti equivalenze asintotiche, in particolare:
$f(x)=|x^2-16|e^-(4x) $ \(\displaystyle \sim \)$ |x^2|e^-x=x^2e^-x $.
Allora per $x to infty$ si ha $ f(x) to infty$, quindi dalla 1) ne segue che l'integrale è divergente, quindi non occore procedere con i criteri di convegenza.
E' corretto?
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao, grazie per la risposta arnett.
Mi sono confuso data la forte ignoranza
, comunque pensavo di provare la convergenza, usando il criterio del confronto asintotico.
Come detto in un intorno di $+infty$
\(\displaystyle f(x) \sim\)$ x^2e^(-4x)$ inoltre sia $g(x)=e^(-3x) >0 forall x \in [-4,+infty[$.
considerando il limite del rapporto \(\displaystyle \lim(x \to \infty)\tfrac{f(x)}{g(x)} \sim \lim(x \to \infty) x^2e^-x=0. \)
Ora il valore del precedente limite $l=0$, quindi siamo nel caso:
se $int_-4^(+infty)g(x) dx$ è convergente allora anche $int_-4^(+infty)f(x) dx$ è convergente.
quindi:
$int_-4^(+infty)e^(-3x) dx=lim_(a to infty)int_-4^(a)e^(-3x)dx=lim_(a to infty)(-1/3)(e^(-3a)-e^12)=(e^12)/(3) to int_-4^(+infty)f(x) dx $ è convergente.
Spero di non aver sbagliato
Ciao.
Mi sono confuso data la forte ignoranza
, comunque pensavo di provare la convergenza, usando il criterio del confronto asintotico.Come detto in un intorno di $+infty$
\(\displaystyle f(x) \sim\)$ x^2e^(-4x)$ inoltre sia $g(x)=e^(-3x) >0 forall x \in [-4,+infty[$.
considerando il limite del rapporto \(\displaystyle \lim(x \to \infty)\tfrac{f(x)}{g(x)} \sim \lim(x \to \infty) x^2e^-x=0. \)
Ora il valore del precedente limite $l=0$, quindi siamo nel caso:
se $int_-4^(+infty)g(x) dx$ è convergente allora anche $int_-4^(+infty)f(x) dx$ è convergente.
quindi:
$int_-4^(+infty)e^(-3x) dx=lim_(a to infty)int_-4^(a)e^(-3x)dx=lim_(a to infty)(-1/3)(e^(-3a)-e^12)=(e^12)/(3) to int_-4^(+infty)f(x) dx $ è convergente.
Spero di non aver sbagliato
Ciao.
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