Integrale improrpio
integrale improrpio
$ \int_{0}^{+oo} log(1 + x^2)/(x^4(1 + x^3)) dx$
c'è un punto di discontinuità in $x=0$ e l'intervallo non è finito a destra
quindi per vedere se l'integrale esiste finito devo calcolarlo agli estremi.
In generale per risolvere un integrale improprio è meglio integrare con parametro e poi fare il limite dovuto, analizzare la funzione di partenza facendo il passaggio a limite o dipende se la funzione è integrabile o meno?
per esempio se studio la funzione di partenza per $x-> +oo$ in base agli ordini di infinito so che fa $0$, quindi a destra sono tranquillo ma a sinitra non saprei come calcolarlo.
$ \int_{0}^{+oo} log(1 + x^2)/(x^4(1 + x^3)) dx$
c'è un punto di discontinuità in $x=0$ e l'intervallo non è finito a destra
quindi per vedere se l'integrale esiste finito devo calcolarlo agli estremi.
In generale per risolvere un integrale improprio è meglio integrare con parametro e poi fare il limite dovuto, analizzare la funzione di partenza facendo il passaggio a limite o dipende se la funzione è integrabile o meno?
per esempio se studio la funzione di partenza per $x-> +oo$ in base agli ordini di infinito so che fa $0$, quindi a destra sono tranquillo ma a sinitra non saprei come calcolarlo.
Risposte
"Mrs92":
quindi per vedere se l'integrale esiste finito devo calcolarlo agli estremi.
In generale per risolvere un integrale improprio è meglio integrare con parametro e poi fare il limite dovuto, analizzare la funzione di partenza facendo il passaggio a limite o dipende se la funzione è integrabile o meno?
Ovviamente dipende: se la funzione non è integrabile, devi arrangiarti con qualche criterio.
"Mrs92":
per esempio se studio la funzione di partenza per $x-> +oo$ in base agli ordini di infinito so che fa $0$, quindi a destra sono tranquillo ma a sinitra non saprei come calcolarlo.
Questa frase mi lascia un attimo perplesso. Puoi spiegare meglio cosa intendi?
sto usando il secondo teorema del calcolo integrale applicandolo non alla funzione primitiva ma alla funzione integranda.
un passaggio al limite per così dire, per $x->+oo$ e per $x->0$
un passaggio al limite per così dire, per $x->+oo$ e per $x->0$
Ancora non ho capito, quale teorema stai usando?
Soprattutto, che significa il pezzo "so che fa 0, quindi a destra sono tranquillo"?
Soprattutto, che significa il pezzo "so che fa 0, quindi a destra sono tranquillo"?
"Mrs92":
integrale improrpio
$ \int_{0}^{+oo} log(1 + x^2)/(x^4(1 + x^3)) dx$
io farei cosi:
$xto 0:$
\begin{align*}
\frac{\ln(1 + x^2)}{(x^4(1 + x^3)}\sim\frac{ x^2 }{ x^4 }=\frac{1}{ x^2 }\to \text{diverge}
\end{align*}
$xto +\infty:$
\begin{align*}
\frac{\ln(1 + x^2)}{(x^4(1 + x^3)}\sim\frac{\ln x^2 }{ x^5 }=\frac{1}{ x^5\cdot\ln^{-1}x }\to \text{converge}
\end{align*}
quindi l'integrale in $(0,+\infty)$ non converge
@Raptorista significa che so che a destra converge quindi non mi do pena da quella parte.
@Noisemaker mi spiegheresti come hai fatto quelle semplificazioni?
@Noisemaker mi spiegheresti come hai fatto quelle semplificazioni?
"Noisemaker":
io farei cosi:
[...]
quindi l'integrale in $(0,+\infty)$ non converge
Ti farebbe bene una ripassata al regolamento, Noisemaker: ero capace pure io di fornire la pappa pronta, ma c'è un motivo se su questo forum cerchiamo di non farlo.
"Regolamento":
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
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"Mrs92":
@Raptorista significa che so che a destra converge quindi non mi do pena da quella parte.
E qui ti volevo!
Adesso ti chiedo di spiegarmi come fai a concludere che a destra converge.
"Mrs92":
@Noisemaker mi spiegheresti come hai fatto quelle semplificazioni?
La manifestazione di quanto ho appena detto: Noisemaker, come vedi, fornire la soluzione non solo è inutile, ma spesso può risultare dannoso.
ok, mi sono perso.
"Mrs92":
ok, mi sono perso.
CVD...
Ok, riparti da zero e spiega dettagliatamente
- [*:9dv2tnex]cosa fai[/*:m:9dv2tnex]
[*:9dv2tnex]perché lo fai[/*:m:9dv2tnex]
[*:9dv2tnex]che teoremi usi per farlo[/*:m:9dv2tnex][/list:u:9dv2tnex]
1_allora, in generale se devo studiare la convergenza o la sommabilità di un integrale improprio la prima cosa che faccio è analizzare la funzione integranda. Vedo se ci sono punti di discontinuità, se qualcuno degli estremi tende all'infinito o entrambe le cose. A quel punt,o in base al tipo di funzione che ho, decido se integrarla per poi usare parametri e passaggi al limite oppure se non riesco a integrarla allora uso i vari criteri di sommabilità (confronto ecc..).
2_ perchè è quello che so fare
3_fondamentalmente teorema del calcolo integrale e i vari criteri di sommabilità
2_ perchè è quello che so fare
3_fondamentalmente teorema del calcolo integrale e i vari criteri di sommabilità
Non è questo che intendevo XD
Sviluppa il punto 1, e spiega bene come fai il lavoro di "utilizzo i vari criteri di sommabilità".
Sviluppa il punto 1, e spiega bene come fai il lavoro di "utilizzo i vari criteri di sommabilità".
francamente non saprei cosa aggiungere senza risultare ridondante.
Nel caso della funzione che ho proposto visto che non saprei come integrarla penso di utilizzare qualch criterio di sommabilità, mi viene spontaneo usare il criterio del confronto cercando una funzione che maggiora la funzione data e che è convergente.
Nel caso della funzione che ho proposto visto che non saprei come integrarla penso di utilizzare qualch criterio di sommabilità, mi viene spontaneo usare il criterio del confronto cercando una funzione che maggiora la funzione data e che è convergente.
Just do it! 
nel caso del passaggio al limite per $x-> +oo$ mi comporterei esattamente come Noisemaker e otterrei la convergenza, come specificato nel primo post, invece per $x-> 0$ avrei qualche difficoltà a ridurre la funzione.
Anche per \(x \to 0\) devi cercare un'uguaglianza asintotica con una funzione più facile, proprio come nel caso \(x \to +\infty\).
A proposito del primo caso, il denominatore \(x^5\) da dove arriva?
Se la funzione integranda fosse stata
\[
\frac{\ln(1 + \exp(x^6))}{x^4(1 + x^3)}
\]
sarebbe cambiato qualcosa nel caso \(x \to +\infty\)?
A proposito del primo caso, il denominatore \(x^5\) da dove arriva?
Se la funzione integranda fosse stata
\[
\frac{\ln(1 + \exp(x^6))}{x^4(1 + x^3)}
\]
sarebbe cambiato qualcosa nel caso \(x \to +\infty\)?
per quanto riguarda la prima domanda, non ne ho idea.
per la seconda domanda, credo che non sarebbe cambaito nulla perchè una potenza >1 di x è un infinito di ordine maggiore del logaritmo qualsiasi sia il suo argomento.
per la seconda domanda, credo che non sarebbe cambaito nulla perchè una potenza >1 di x è un infinito di ordine maggiore del logaritmo qualsiasi sia il suo argomento.
Mi piace che tu dica che avresti fatto come Noisemaker ma che poi tu non sappia spiegare i conti in questione.
And here you fail..
Dovresti ripassare gli sviluppi asintotici, sai? Ho messo apposta un'esponenziale nell'integranda per far cambiare il risultato!
And here you fail..
Dovresti ripassare gli sviluppi asintotici, sai? Ho messo apposta un'esponenziale nell'integranda per far cambiare il risultato!
non posso ripassarli visto che non gli ho fatti.
In questo caso ti consiglio vivamente di riprendere in mano il libro di teoria di Analisi [oltre che quello di Grammatica italiana] e di studiare la teoria prima di tentare di fare esercizi: al tuo stato attuale non faresti che perdere tempo zoppicando verso la soluzione, che comunque poi non padroneggeresti.
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