Integrale improrio : non concludo
Buona sera. Avrei se possibile bisogno di un aiuto per cercare di calcolare questo integrale improprio: posto il mio tentativo, ma non riesco a concludere...
Determinare i valori di $\beta\in \mathbb{R} $ per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:
\begin{align*}\int_{1}^{+\infty}\,\, \left[\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) \,\,dx \end{align*}
Anzitutto si osserva che la funzione integranda è definita per $ x>1;$ la presenza del seno non mantiene costante il segno della funzione; bisognerà quindi considerare il valore assoluto per valutare il comportamento asintotico. Allora per la disuguaglianza triangolare si ha:
\begin{align*}
\left|\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|&<\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|=\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right| \left|\sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|\\
&<\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
f(x)=\left[\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) <\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|\right)^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1)
\end{align*}
allora agli estremi il comportamento asintotico sarà:
$x\to 1^-$
\begin{align*}
f(x)&<\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|\right)^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) \sim\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{7}{5}} (x-1) ^2= \frac{ (x-1) ^2}{(x-1)^{\frac{7}{15}}}\\
&< \frac{1}{(x-1)^{-\frac{23}{15}}}= (x-1)^{\frac{23}{15}} \to \frac{23}{15}>1 \to\text{diverge assolutamente}
\end{align*}
e dunque nulla si può concludere circa la convergenza.....
$x\to +\infty$
\begin{align*}
f(x) \sim\left[0- \left(\frac{2\beta}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1)\sim - \frac{C}{(x-1)^{\frac{7}{15}}\ln^{-2} x } \to\text{diverge}
\end{align*}
e da qui non sono in grado di conludere...
Determinare i valori di $\beta\in \mathbb{R} $ per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:
\begin{align*}\int_{1}^{+\infty}\,\, \left[\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) \,\,dx \end{align*}
Anzitutto si osserva che la funzione integranda è definita per $ x>1;$ la presenza del seno non mantiene costante il segno della funzione; bisognerà quindi considerare il valore assoluto per valutare il comportamento asintotico. Allora per la disuguaglianza triangolare si ha:
\begin{align*}
\left|\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|&<\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|=\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right| \left|\sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right|\\
&<\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|
\end{align*}
quindi
\begin{align*}
f(x)=\left[\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}-\beta \sin\left(\frac{2}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) <\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|\right)^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1)
\end{align*}
allora agli estremi il comportamento asintotico sarà:
$x\to 1^-$
\begin{align*}
f(x)&<\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}+\left|\beta\right|\right)^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1) \sim\left(\frac{5}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{7}{5}} (x-1) ^2= \frac{ (x-1) ^2}{(x-1)^{\frac{7}{15}}}\\
&< \frac{1}{(x-1)^{-\frac{23}{15}}}= (x-1)^{\frac{23}{15}} \to \frac{23}{15}>1 \to\text{diverge assolutamente}
\end{align*}
e dunque nulla si può concludere circa la convergenza.....
$x\to +\infty$
\begin{align*}
f(x) \sim\left[0- \left(\frac{2\beta}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \right)\right]^{\frac{7}{5}}\ln^2(x-1)\sim - \frac{C}{(x-1)^{\frac{7}{15}}\ln^{-2} x } \to\text{diverge}
\end{align*}
e da qui non sono in grado di conludere...
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