Integrale improrio
Ciao
Non sono riuscito a capire il comportamento di questo integrale:
[tex]y(x)=\int_{-1}^{0^-} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] [1]
Ho fatto tantisime prove, ma non ne sono uscito fuori.
Questa funzione, apparentemente semplice, è una minorante (ovvero è sempre minore in un intervallo ds. di 0):
[tex]y_1(t)=\frac{a}{\sqrt[3]{e^{-t}-1}}[/tex]
con a<1/4.
E quindi si tratta di scovare una sua minorante utile (cioè che diverga) o trovare :
[tex]\int \frac{1}{\sqrt[3]{e^{z}-1}}dz[/tex]
con z=-t
Che, a sua volta ponendo [tex]s=e^{-1}-1[/tex] si può scrivere:
[tex]\int {\frac{1}{(s+1)\sqrt[3]{s}}}ds[/tex]
Anche questo integrale non sembra complicato, ma non ne sono uscito a venirne fuori.
La stessa cosa succede per [tex]x\rightarrow0^-[/tex]
Nemmeno sono riuscito a venirne fuori cercanto una maggiorante utile (cioé che converga) della [1].
Per inciso l'integrale diverge per [tex]x\rightarrow-4^{+}[/tex]
Da niubbo ho cercato di mettere la [1] nel titolo ma non me l'ha presa, forse è troppo lunga?
Ciao e grazie dell'attenzione
Non sono riuscito a capire il comportamento di questo integrale:
[tex]y(x)=\int_{-1}^{0^-} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] [1]
Ho fatto tantisime prove, ma non ne sono uscito fuori.
Questa funzione, apparentemente semplice, è una minorante (ovvero è sempre minore in un intervallo ds. di 0):
[tex]y_1(t)=\frac{a}{\sqrt[3]{e^{-t}-1}}[/tex]
con a<1/4.
E quindi si tratta di scovare una sua minorante utile (cioè che diverga) o trovare :
[tex]\int \frac{1}{\sqrt[3]{e^{z}-1}}dz[/tex]
con z=-t
Che, a sua volta ponendo [tex]s=e^{-1}-1[/tex] si può scrivere:
[tex]\int {\frac{1}{(s+1)\sqrt[3]{s}}}ds[/tex]
Anche questo integrale non sembra complicato, ma non ne sono uscito a venirne fuori.
La stessa cosa succede per [tex]x\rightarrow0^-[/tex]
Nemmeno sono riuscito a venirne fuori cercanto una maggiorante utile (cioé che converga) della [1].
Per inciso l'integrale diverge per [tex]x\rightarrow-4^{+}[/tex]
Da niubbo ho cercato di mettere la [1] nel titolo ma non me l'ha presa, forse è troppo lunga?
Ciao e grazie dell'attenzione
Risposte
Non si capisce molto bene cosa stai cercando di fare, indichi con $y(x)$ una quantità che non è funzione di nessuna variabile.
Se devi semplicemente stabilire se [tex]\int_{-1}^{0^-} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] questa cosa è finita o infinita, allora ti devi preoccupare solo delle discontinuità che l'integranda ha nell'intervallo $[0,1]$, in questo caso l'unica è in $0$.
Ti consiglio anche di fare una stima asintotica dell'integranda, piuttosto che cercare maggioranti o minoranti..
Se devi semplicemente stabilire se [tex]\int_{-1}^{0^-} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] questa cosa è finita o infinita, allora ti devi preoccupare solo delle discontinuità che l'integranda ha nell'intervallo $[0,1]$, in questo caso l'unica è in $0$.
Ti consiglio anche di fare una stima asintotica dell'integranda, piuttosto che cercare maggioranti o minoranti..
Grazie.
In realtà il tema era di studiare la funzione agli estremi campo di esistenza:
[tex]y(x)=\int_{-1}^{x} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] [1]
è per questo che mi è rimasto l' f(x)!
Se ho capito bene cosa intendi per "stima asintotica", e chiaro che:
l'integranda non è definita in 0 dove tende a [tex]+\infty[/tex] da sn. (e da ds.) .
Il nocciolo del problema è proprio di capire come si comporta la [1] cioé se, per [tex]x \rightarrow 0^+[/tex] la [1]:
1 [tex]\rightarrow\infty[/tex] ovvero diverge
2 [tex]\rightarrow L[/tex] dove L è un numero (finito) e quindi converge
3 oppure nulla si può dire e "non ha senso"
Nel caso 2, ove succedesse che anche per [tex]x \rightarrow 0^-[/tex] la [1] [tex]\rightarrow L[/tex], (meglio con limiti di integrazione 0 - a(>0)), allora la discontinuità sarebbe eliminabile facilmente ponendo f(0)=L .
Il modo classico è prorpio quello di vedere se ci sono minoranti o maggioranti o "approssimanti", però se conosci altri modi ben vengano.
Ciao e grazie ancora
In realtà il tema era di studiare la funzione agli estremi campo di esistenza:
[tex]y(x)=\int_{-1}^{x} \frac{1}{(t+4)\sqrt[3]{e^{-t}-1+t}}dt[/tex] [1]
è per questo che mi è rimasto l' f(x)!
Se ho capito bene cosa intendi per "stima asintotica", e chiaro che:
l'integranda non è definita in 0 dove tende a [tex]+\infty[/tex] da sn. (e da ds.) .
Il nocciolo del problema è proprio di capire come si comporta la [1] cioé se, per [tex]x \rightarrow 0^+[/tex] la [1]:
1 [tex]\rightarrow\infty[/tex] ovvero diverge
2 [tex]\rightarrow L[/tex] dove L è un numero (finito) e quindi converge
3 oppure nulla si può dire e "non ha senso"
Nel caso 2, ove succedesse che anche per [tex]x \rightarrow 0^-[/tex] la [1] [tex]\rightarrow L[/tex], (meglio con limiti di integrazione 0 - a(>0)), allora la discontinuità sarebbe eliminabile facilmente ponendo f(0)=L .
Il modo classico è prorpio quello di vedere se ci sono minoranti o maggioranti o "approssimanti", però se conosci altri modi ben vengano.
Ciao e grazie ancora
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