Integrale improrio
Salve a tutti ragazzi... vi chiedo aiuto per un nuovo esercizio.. ve lo posto:
Devo calcolare se il seguente integrale converge o meno al variare del parametro reale $a$:
$\int_{0}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{1}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
$\lim_(t->0^+)\int_{t}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx$ converge per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
$\lim_(t->\infty)\int_{1}^{t} (sin(x)-ax)/x^3dx$ anche questo dovrebbe convergere per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
Quindi l'integrale dovrebbe convergere, giusto?
Grazie mille per l'aiuto...
Devo calcolare se il seguente integrale converge o meno al variare del parametro reale $a$:
$\int_{0}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{1}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
$\lim_(t->0^+)\int_{t}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx$ converge per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
$\lim_(t->\infty)\int_{1}^{t} (sin(x)-ax)/x^3dx$ anche questo dovrebbe convergere per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
Quindi l'integrale dovrebbe convergere, giusto?
Grazie mille per l'aiuto...
Risposte
attenzione!
prima devi verificare quando la funzione integranda risulta positiva, altrimenti il confronto non lo puoi applicare
prima devi verificare quando la funzione integranda risulta positiva, altrimenti il confronto non lo puoi applicare
Nel primo caso, se fosse come dici tu, divergerebbe, in quanto un integrale del tipo
$\int_0^c f(x)\ dx$
converge per $x\to 0$ se e solo se $f(x)\sim 1/x^\alpha$ con $\alpha<1$ per $x\to 0$.
Il modo corretto di procedere è quello di confrontare la funzione, in entrambi i casi, con gli infinitesimi standard, al fine di trovare il corretto $1/x^\alpha$ a cui sono simili per concludere (nel caso si integri a $+\infty$ questo $\alpha$ deve essere maggiore di 1 per avere convergenza.)
Inoltre ti faccio presente che vengono fuori situazioni diverse a seconda del valore di $a$.
$\int_0^c f(x)\ dx$
converge per $x\to 0$ se e solo se $f(x)\sim 1/x^\alpha$ con $\alpha<1$ per $x\to 0$.
Il modo corretto di procedere è quello di confrontare la funzione, in entrambi i casi, con gli infinitesimi standard, al fine di trovare il corretto $1/x^\alpha$ a cui sono simili per concludere (nel caso si integri a $+\infty$ questo $\alpha$ deve essere maggiore di 1 per avere convergenza.)
Inoltre ti faccio presente che vengono fuori situazioni diverse a seconda del valore di $a$.
allora il fatto di spezzare l'integrale è giusto vero?
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{1}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
ora analizzando l'integrale tra $0$ e $1$ si ha:
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx = \int_{0}^{1} sin(x)/x^3dx - \int_{0}^{1} a/x^2dx$ , potrei dire che:
$|\int_{0}^{1} sin(x)/x^3dx|<=\int_{0}^{1}|sin(x)/x^3dx|$ e quindi posso concludere che il primo integrale tra $0$ e $1$ converge perchè $|sin(x)/x^3dx|<=1/x^3$ essendo la serie armonica convergente? Mentre per $\int_{0}^{1} a/x^2dx$ calcolo la primitiva ottenendo $-a/x$ allora $\lim_{t->0^+}[a/x]_{t}^{1}=-\infty$; perciò riassumendo posso dire che l'integrale
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx$
converge per $a=0$ e diverge per $a\ne0$
Se è giusto poi analizzo l'integrale tra $1$ e $\infty$, grazie.
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{1}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
ora analizzando l'integrale tra $0$ e $1$ si ha:
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx = \int_{0}^{1} sin(x)/x^3dx - \int_{0}^{1} a/x^2dx$ , potrei dire che:
$|\int_{0}^{1} sin(x)/x^3dx|<=\int_{0}^{1}|sin(x)/x^3dx|$ e quindi posso concludere che il primo integrale tra $0$ e $1$ converge perchè $|sin(x)/x^3dx|<=1/x^3$ essendo la serie armonica convergente? Mentre per $\int_{0}^{1} a/x^2dx$ calcolo la primitiva ottenendo $-a/x$ allora $\lim_{t->0^+}[a/x]_{t}^{1}=-\infty$; perciò riassumendo posso dire che l'integrale
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx$
converge per $a=0$ e diverge per $a\ne0$
Se è giusto poi analizzo l'integrale tra $1$ e $\infty$, grazie.
Tu dici che l'integrale col seno converge: ma hai solo fatto vedere che tale integrale è minore, in valore assoluto, di qualcosa che diverge (l'integrale di $1/x^3$). Stai tentando di usare un teorema, quello con il confronto di una successione decrescente, che qui non puoi usare (perché esso va usato quando studi un integrale del tipo $\int_a^\infty$).
Ripeto il concetto: devi usare un confronto locale.
Ripeto il concetto: devi usare un confronto locale.
Ho capito... (infatti nelle successioni il termine $x$ va all'infinito mentre qui no...) quindi il fatto di trovare una maggiorazione che diverge è completamente inutile...calcolare la primitiva di $\int_{0}^{1} sin(x)/x^3dx$ a occhio non mi sembra facile (a meno che non usassi integrazione per parti...ma ho i miei dubbi) e se prendessi il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor del seno? dicendo che per $x->0$ si ha $sin(x)=x$? Si può fare?
Io ti consiglio di sviluppare tutto il numeratore $\sin x-ax$ con Taylor fino al terzo ordine, e ragionare su cosa venga fuori.
"M4rk":
Salve a tutti ragazzi... vi chiedo aiuto per un nuovo esercizio.. ve lo posto:
Devo calcolare se il seguente integrale converge o meno al variare del parametro reale $a$:
$\int_{0}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$\int_{0}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{1}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
$\lim_(t->0^+)\int_{t}^{1} (sin(x)-ax)/x^3dx$ converge per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
$\lim_(t->\infty)\int_{1}^{t} (sin(x)-ax)/x^3dx$ anche questo dovrebbe convergere per qualsiasi valore di $a$ perchè l'integrale è maggiorato dalla serie armonica $1/x^3$ che converge.
Quindi l'integrale dovrebbe convergere, giusto?
Grazie mille per l'aiuto...
ad occhio procederei così, fisserei un $\epsilon $ positivo e scriverei
$\int_{0}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx = \int_{0}^{\epsilon} (sin(x)-ax)/x^3dx + \int_{\epsilon}^{\infty} (sin(x)-ax)/x^3dx$
ora il secondo termine sembra che non dia problemi, quindi abbiamo isolato la divergenza nel primo termine. espandendo il seno in un intorno dell'origine
$\int_{0}^{\epsilon} (sin(x)-ax)/x^3dx = \int_{0}^{\epsilon} ((1-a)/x^2 -1/6 + O(x^2) )dx $
integrando si ottiene $(a-1)/x - x/6 + O(x^3)$ quando lo valuti ad $x=0$ hai che diverge sempre a meno che $a=1$.
sulle idde ci sei, più o meno. Ti faccio una discussione un pò lunga, forse ti può essere ultile 
Consideriamo i casi più immediati relativi alla variazione del parametro $a$, cioè il caso $a=0$ e $a=1$:
se $a=0$ l'integrale diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda in questo caso mantiene segno costante positivo avvicinandosi a zero ma non andando verso $+\infty,$; allora considerando il comportamento asintotico, avremo che
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, x\to0^+:\qquad\frac{\sin x }{x^3} \sim \frac{1}{x^2}\to \mbox{non converge};\qquad\qquad\mbox{se}\,\,\, x\to+\infty:\qquad \frac{|\sin x |}{x^3}\le \frac{1}{x^3}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi concludi che se $a=0$ l'integrale non converge; Consideriamo ora il caso in cui $a=1:$ l'integrale in questo caso diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x- x}{x^3}\,\,dx=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-x }{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda in questo mantiene segno costante (negativo) nell'intervallo $(0+\infty)$ e quindi in questo caso possiamo considerare il comportamento asintotico, senza preoccuparci del segno della funzione integranda; allora avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x- x}{x^3}\stackrel{\bf(T)}{\sim} \frac{x-\frac{x^3}{3!}-x}{x^3}=-\frac{1}{3!} \\
&\to \mbox{ converge, in quanto la funzione è prolungabile per continuità in $x=1/3!$};\\
\qquad\qquad\mbox{se}\,\,\, &x\to+\infty:\qquad \frac{ \sin x -x}{x^3}\le \frac{1-x}{ x^3}\sim-\frac{1}{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi se $a=1$ l'integrale converge. Ci rimangono da considerare i casi :$a<0,01;$ Cominciamo con il caso $a<0:$ in questo caso l'integrale diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x+ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
evidentemente la funzione integranda risulta sempre positiva, e quindi applicando il confronto asintotico abbiamo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x+ax }{x^3} \sim \frac{x+ax}{x^3}= \frac{1+a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{\sin x+ax }{x^3}\le \frac{1+ax}{x^3}\sim\frac{a}{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi l'integrale per $a<0$ non converge; consideriamo il caso $0
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
in questo caso la finzione integranda mantiene segno costante positivo avicinandosi a $0$, mentre mantiene segno costante negativo andado verso$+\infty$ allora considerando sempre il comportamento asintotico avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x-ax }{x^3} \sim \frac{x-ax}{x^3}= \frac{1-a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{ | \sin x-ax| }{x^3}\le \frac{1+ |a| x }{x^3}\sim\frac{ a }{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi l'integrale per $01$ in questo caso l'integrale diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda mantiene sempre segno negativo, quindi considerando il comportamento asintotico avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x-ax }{x^3} \sim \frac{x-ax}{x^3}= \frac{1-a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{ | \sin x-ax| }{x^3}\le \frac{1+|a| x }{x^3}\sim\frac{ a }{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi anche in questo caso l'integrale non converge. Concludendo abbiamo che:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3} =\begin{cases} \mbox{converge} & \mbox{se }a=1 \\ \mbox{diverge} &\mbox{se }a\ne1
\end{cases}
\end{align}
Consideriamo i casi più immediati relativi alla variazione del parametro $a$, cioè il caso $a=0$ e $a=1$:
se $a=0$ l'integrale diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x }{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda in questo caso mantiene segno costante positivo avvicinandosi a zero ma non andando verso $+\infty,$; allora considerando il comportamento asintotico, avremo che
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, x\to0^+:\qquad\frac{\sin x }{x^3} \sim \frac{1}{x^2}\to \mbox{non converge};\qquad\qquad\mbox{se}\,\,\, x\to+\infty:\qquad \frac{|\sin x |}{x^3}\le \frac{1}{x^3}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi concludi che se $a=0$ l'integrale non converge; Consideriamo ora il caso in cui $a=1:$ l'integrale in questo caso diviene:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x- x}{x^3}\,\,dx=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-x }{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda in questo mantiene segno costante (negativo) nell'intervallo $(0+\infty)$ e quindi in questo caso possiamo considerare il comportamento asintotico, senza preoccuparci del segno della funzione integranda; allora avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x- x}{x^3}\stackrel{\bf(T)}{\sim} \frac{x-\frac{x^3}{3!}-x}{x^3}=-\frac{1}{3!} \\
&\to \mbox{ converge, in quanto la funzione è prolungabile per continuità in $x=1/3!$};\\
\qquad\qquad\mbox{se}\,\,\, &x\to+\infty:\qquad \frac{ \sin x -x}{x^3}\le \frac{1-x}{ x^3}\sim-\frac{1}{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi se $a=1$ l'integrale converge. Ci rimangono da considerare i casi :$a<0,0
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x+ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
evidentemente la funzione integranda risulta sempre positiva, e quindi applicando il confronto asintotico abbiamo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x+ax }{x^3} \sim \frac{x+ax}{x^3}= \frac{1+a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{\sin x+ax }{x^3}\le \frac{1+ax}{x^3}\sim\frac{a}{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi l'integrale per $a<0$ non converge; consideriamo il caso $0
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
in questo caso la finzione integranda mantiene segno costante positivo avicinandosi a $0$, mentre mantiene segno costante negativo andado verso$+\infty$ allora considerando sempre il comportamento asintotico avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x-ax }{x^3} \sim \frac{x-ax}{x^3}= \frac{1-a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{ | \sin x-ax| }{x^3}\le \frac{1+ |a| x }{x^3}\sim\frac{ a }{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi l'integrale per $0
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3}\,\,dx
\end{align}
la funzione integranda mantiene sempre segno negativo, quindi considerando il comportamento asintotico avremo:
\begin{align}
\mbox{se}\,\,\, &x\to0^+:\qquad\frac{\sin x-ax }{x^3} \sim \frac{x-ax}{x^3}= \frac{1-a }{x^2}\to \mbox{non converge}; \\
\mbox{se}&x\to+\infty:\qquad\frac{ | \sin x-ax| }{x^3}\le \frac{1+|a| x }{x^3}\sim\frac{ a }{x^2}\to \mbox{ converge}
\end{align}
quindi anche in questo caso l'integrale non converge. Concludendo abbiamo che:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x-ax}{x^3} =\begin{cases} \mbox{converge} & \mbox{se }a=1 \\ \mbox{diverge} &\mbox{se }a\ne1
\end{cases}
\end{align}
Ragazzi vorrei chiedervi cosa ne pensate sul mio procedimento su un integrale improprio...
$int_(0)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$int_(0)^(1)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx + int_(1)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
- Considero l'intergrale tra $0;1$
$int_(0)^(1)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx = int_(0)^(1)\frac{3x[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx = \frac{3}{2}int_(0)^(1)[ln(x+4)-ln(x+5)]dx =$
$\frac{3}{2}int_(0)^(1)(x-3)-(x-4)dx = \frac{3}{2}int_(0)^(1)1dx$ tale integrale quindi converge.
- Considero l'intergrale tra $1;infty$
$|int_(1)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx| <= int_(1)^(infty)|\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx| =$
$int_(1)^(infty)\frac{[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
Ora si ha che:
$\frac{[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx <= \frac{1}{x}$ che diverge.
Quindi concludo che l'integrale diverge... Giusto? (Ho dubbi sull'ultimo passaggio)
$int_(0)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$int_(0)^(1)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx + int_(1)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
- Considero l'intergrale tra $0;1$
$int_(0)^(1)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx = int_(0)^(1)\frac{3x[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx = \frac{3}{2}int_(0)^(1)[ln(x+4)-ln(x+5)]dx =$
$\frac{3}{2}int_(0)^(1)(x-3)-(x-4)dx = \frac{3}{2}int_(0)^(1)1dx$ tale integrale quindi converge.
- Considero l'intergrale tra $1;infty$
$|int_(1)^(infty)\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx| <= int_(1)^(infty)|\frac{sin(3x)[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx| =$
$int_(1)^(infty)\frac{[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx$
Ora si ha che:
$\frac{[ln(x+4)-ln(x+5)]}{2x}dx <= \frac{1}{x}$ che diverge.
Quindi concludo che l'integrale diverge... Giusto? (Ho dubbi sull'ultimo passaggio)
formalmente è tutto molto scorretto....anzittutto hai che
\begin{align}
\frac{\sin 3x\left[\ln(x+4)-\ln(x+5)\right]}{2x}=\frac{\displaystyle\sin 3x \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x}
\end{align}
se $xto0$
\begin{align}
\frac{\displaystyle\sin 3x \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x} \sim\frac{\displaystyle 3x \ln\left(\frac{ 4}{ 5} \right)}{2x} =\frac{3}{2}\ln \ln\left(\frac{ 4}{ 5} \right)\to\mbox{converge poichè la funzione in $0$ è continua}
\end{align}
se $xto+\infty$
\begin{align}
\frac{\displaystyle\left|\sin 3x\right| \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x} &\sim \frac{\displaystyle\left|\sin 3x\right| \left(\frac{x+4}{x+5}-1 \right)}{2x}=\frac{\displaystyle- \frac{\left|\sin 3x\right|}{x+5} }{2x}= \frac{\left|\sin 3x\right| }{2x(x+5)} \\
&\sim \frac{\left|\sin 3x\right|}{2x^2}\le \frac{1 }{2x^2}\to\mbox {converge}
\end{align}
\begin{align}
\frac{\sin 3x\left[\ln(x+4)-\ln(x+5)\right]}{2x}=\frac{\displaystyle\sin 3x \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x}
\end{align}
se $xto0$
\begin{align}
\frac{\displaystyle\sin 3x \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x} \sim\frac{\displaystyle 3x \ln\left(\frac{ 4}{ 5} \right)}{2x} =\frac{3}{2}\ln \ln\left(\frac{ 4}{ 5} \right)\to\mbox{converge poichè la funzione in $0$ è continua}
\end{align}
se $xto+\infty$
\begin{align}
\frac{\displaystyle\left|\sin 3x\right| \ln\left(\frac{x+4}{x+5} \right)}{2x} &\sim \frac{\displaystyle\left|\sin 3x\right| \left(\frac{x+4}{x+5}-1 \right)}{2x}=\frac{\displaystyle- \frac{\left|\sin 3x\right|}{x+5} }{2x}= \frac{\left|\sin 3x\right| }{2x(x+5)} \\
&\sim \frac{\left|\sin 3x\right|}{2x^2}\le \frac{1 }{2x^2}\to\mbox {converge}
\end{align}
scusa un attimo..te hai fatto:
$ln(x)$ è asintotico a $x-1$, ma questo passaggio non è vero solo per $x->0$?
$ln(x)$ è asintotico a $x-1$, ma questo passaggio non è vero solo per $x->0$?
si ma li non hai $\ln x$ hai $\ln f(x)$ con $f(x)\to1$ per $x\to x_0$
e duque in generale hai che
\begin{align}
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
e duque in generale hai che
\begin{align}
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
Ecco a voi un nuovo integrale da discutere insieme:
$int_(0)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$
Il mio procedimento è stato:
$int_(a)^(1)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}+int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$
Analizzo il primo integrale:
$int_(a)^(1)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ e poichè il $\sinx$ è positivo posso dire che $\sinx=x$ e quindi:
$int_(a)^(1)\frac{x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}=int_(a)^(1)\frac{0}{\ln(1+x^2)+x^3}$ e posso dire che converge.
Ora passo ad analizzare il secondo integrale:
$int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ poichè è oscillante pongo:
$|int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}|<=int_(1)^(infty)\frac{|\sinx|-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ da cui posso dire che
$\frac{1-x}{\ln(1+x^2)+x^3}=\frac{-x}{x^2+x^3}=\frac{-x}{x^3}=\frac{-1}{x^2}$ che converge.
Quindi posso concludere che l'integrale converge?
$int_(0)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$
Il mio procedimento è stato:
$int_(a)^(1)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}+int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$
Analizzo il primo integrale:
$int_(a)^(1)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ e poichè il $\sinx$ è positivo posso dire che $\sinx=x$ e quindi:
$int_(a)^(1)\frac{x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}=int_(a)^(1)\frac{0}{\ln(1+x^2)+x^3}$ e posso dire che converge.
Ora passo ad analizzare il secondo integrale:
$int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ poichè è oscillante pongo:
$|int_(1)^(infty)\frac{\sinx-x}{\ln(1+x^2)+x^3}|<=int_(1)^(infty)\frac{|\sinx|-x}{\ln(1+x^2)+x^3}$ da cui posso dire che
$\frac{1-x}{\ln(1+x^2)+x^3}=\frac{-x}{x^2+x^3}=\frac{-x}{x^3}=\frac{-1}{x^2}$ che converge.
Quindi posso concludere che l'integrale converge?
se ciampax legge quello che hai scritto ti fa bannare!!! (scherzo naturalmente!) il problema è che non puoi semplificare il seno in quel modo
\[\sin x-x\sim x-x=0\]
pechè nella stima perdi tutte le informazioni delle funzioni in gioco; quindi la stima al primo ordine non è sufficiente e devi sviluppare un pò di più, con Taylor; prima cosa da fare è considerare la funzione integranda :
\begin{align}
\frac{\sin x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}
\end{align}
essa nell'intervallo di integrazione ha problemi agli estremi di integrazione; inoltre devi osservare che in un intorno di zero, la funzione mantiene segno costante negativo quindi puoi applicare il confronto asintotico:
se $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\sin x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}&\stackrel{\bf(T)}{\sim}\frac{x-\frac{x^3}{3!}-x}{ x^2+x^3}\sim\frac{ -\frac{x^3}{3!} }{ x^2 }= -\frac{x }{3!} =0\\
&\to\mbox{la funzione in $0$ è prolungabile per continuità e quindi certamente integrabile}
\end{align}
se $x\to+\infty$
in questo caso la funzione integranda mantiene segno costante negativo quindi usando il confronto:
\begin{align}
\frac{ \sin x-x }{\ln(1+x^2)+x^3}\sim\frac{ \sin x-x }{\ln( x^2 +x^3}\sim-\frac{ x }{ x^3}=-\frac{ 1 }{ x^2}=
&\to\mbox{converge}
\end{align}
(scherzo naturalmente!) il problema è che non puoi semplificare il seno in quel modo \[\sin x-x\sim x-x=0\]
pechè nella stima perdi tutte le informazioni delle funzioni in gioco; quindi la stima al primo ordine non è sufficiente e devi sviluppare un pò di più, con Taylor; prima cosa da fare è considerare la funzione integranda :
\begin{align}
\frac{\sin x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}
\end{align}
essa nell'intervallo di integrazione ha problemi agli estremi di integrazione; inoltre devi osservare che in un intorno di zero, la funzione mantiene segno costante negativo quindi puoi applicare il confronto asintotico:
se $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\sin x-x}{\ln(1+x^2)+x^3}&\stackrel{\bf(T)}{\sim}\frac{x-\frac{x^3}{3!}-x}{ x^2+x^3}\sim\frac{ -\frac{x^3}{3!} }{ x^2 }= -\frac{x }{3!} =0\\
&\to\mbox{la funzione in $0$ è prolungabile per continuità e quindi certamente integrabile}
\end{align}
se $x\to+\infty$
in questo caso la funzione integranda mantiene segno costante negativo quindi usando il confronto:
\begin{align}
\frac{ \sin x-x }{\ln(1+x^2)+x^3}\sim\frac{ \sin x-x }{\ln( x^2 +x^3}\sim-\frac{ x }{ x^3}=-\frac{ 1 }{ x^2}=
&\to\mbox{converge}
\end{align}
"Noisemaker":
se ciampax legge quello che hai scritto ti fa bannare!!! :wink:
Sono troppo occupato a riprendermi dall'infarto che mi è pigliato quando ho letto $\sin x=x$....
"ciampax":
[quote="Noisemaker"]se ciampax legge quello che hai scritto ti fa bannare!!! :wink:
Sono troppo occupato a riprendermi dall'infarto che mi è pigliato quando ho letto \( \sin x=x \)....[/quote]
...be diciamo che la sua fortuna, in questo caso, è non essere un tuo alunno.... altrimenti so che avrebbe dovuto cambiare corso di Laurea , o addirittura università!!!
@M4rk sto naturalmente scherzando, ho solo citato una frase dal film del grandissimo Carlo Verdone ....
"Noisemaker":
[quote="ciampax"][quote="Noisemaker"]se ciampax legge quello che hai scritto ti fa bannare!!! :wink:
Sono troppo occupato a riprendermi dall'infarto che mi è pigliato quando ho letto \( \sin x=x \)....[/quote]
...be diciamo che la sua fortuna, in questo caso, è non essere un tuo alunno.... altrimenti so che avrebbe dovuto cambiare corso di Laurea , o addirittura università!!!
@M4rk sto naturalmente scherzando, ho solo citato una frase dal film del grandissimo Carlo Verdone ....
[/quote]O addirittura Universo!
"ciampax":
O addirittura Universo!
....in quello in cui naturalemte $$\sin x-x\sim x-x=0$$
quel passaggio in effetti mi sembrava molto strano...eh vabbè, sono qui per imparare...
scusate l'orrore...
scusate l'orrore...
tranquillo.... si stava scherzando! l'importante è che tu abbia capito qual è l'errore
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