Integrale impropro

[VALE014]

Buongiorno a tutti non capisco come funzionano gli integrali impropri vi propongo un integrale banale( unico esempio guida del libro) però sto partendo da questi per capire il ragionamento $ int_(-oo)^(+oo) 1/(1+x^2) dx $.
So che $1/(1+x^2)$ è l'integrale dell'arcotangente.
Divide l'integrale in 2 integrali ed ottengo $ int_(-oo)^(0) 1/(1+x^2) dx +int_(0)^(+oo) 1/(1+x^2) dx $. Passa a limite $ lim_(r -> +oo) arctgx =pi /2 $. Questo vuol dire che converge a $ pi $.
Non capisco perché cambiano gli indici dell' integrale e Come faccio a dedurre che converge grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Puoi considerare la funzione integrale $F:[0,+infty)->RR$ definita come

$F(x)=int_(-x)^(x)1/(1+t^2)dt=arctan(x)-arctan(-x)$

$F(x)=2arctan(x)$

Risulta chiaro che

$lim_(x->+infty)F(x)=lim_(x->+infty)2arctan(x)=int_(-infty)^(+infty)1/(1+t^2)dt$

E quindi viene $pi$ come da te osservato.

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

Nel caso specifico potresti anche notare che la funzione integranda $f(x) = frac{1}{1 + x^2} $ è una funzione pari integrata su un intervallo simmetrico, per cui si ha:

$ int_(-\infty)^(+\infty) 1/(1+x^2) dx = 2 int_(0)^(+\infty) 1/(1+x^2) dx = 2 \cdot lim_{r \to +infty} int_0^r 1/(1+x^2) dx = 2 \cdot lim_{r \to +infty} [arctan(x)]_0^r = $
$ = 2 \cdot lim_{r \to +infty} [arctan(r) - arctan(0)] = 2 \cdot lim_{r \to +infty} arctan(r) = 2 \cdot \pi/2 = \pi $

[VALE014]

Però non capisco come capire se converge o diverge

[pilloeffe]

Esistono opportuni criteri di convergenza per gli integrali impropri, dovresti averli studiati e comunque dovrebbero essere presenti sul tuo libro di testo: ti invito ad andarteli a vedere e ad indagare quale criterio fa al caso dell'integrale

$ int_(0)^(+\infty) 1/(1+x^2) dx $

per scoprire che è convergente.

[VALE014]

Grazie