Integrale improprio..converge?
Ciao a tutti, non so se ho svolto correttamente questo esercizio. Controllate per favore e ditemi e se voi lo avreste fatto in modo diverso, scrivetelo pure. Grazie in anticipo.
Stabilire se esiste il seguente integrale improprio $\int_(0)^(+\infty) root(5)(x^2)\ln(1-e^(-3x))dx$
ho ragionato così
per $x\to +\infty$ .. $f(x)~ root(5)(x^2)(-e^(-3x))=-(root(5)(x^2))/(e^(3x)) \leq 1/x^2$ e CONVERGE in $U(+\infty)$
poi per $x\to 0$, (ed è qui che non se sia corretto)
siccome $\ln(1-e^(-3x))$, l'argomento del logaritmo per $x\to 0$ è asintotico a $3x$
$f(x)~ root(5)(x^2)\ln(3x)=(1)/(x^(-2/5)\ln^-1(3x))$
mi sono ricondotto a $\int_(0)^(b)(1)/(x^p \ln^q x)dx$.. converge ${(p<1,\forall q), (p=1, q>1):}$
siccome ho in questo caso $p=-2/5$ e $q=-1$... mi trovo al primo caso..quindi CONVERGE in $U(0^+)$
È esatto?.. chiedo perchè non mi è mai capitato quando vi sono dei numeri negativi e non vorrei aver sbagliato.
Stabilire se esiste il seguente integrale improprio $\int_(0)^(+\infty) root(5)(x^2)\ln(1-e^(-3x))dx$
ho ragionato così
per $x\to +\infty$ .. $f(x)~ root(5)(x^2)(-e^(-3x))=-(root(5)(x^2))/(e^(3x)) \leq 1/x^2$ e CONVERGE in $U(+\infty)$
poi per $x\to 0$, (ed è qui che non se sia corretto)
siccome $\ln(1-e^(-3x))$, l'argomento del logaritmo per $x\to 0$ è asintotico a $3x$
$f(x)~ root(5)(x^2)\ln(3x)=(1)/(x^(-2/5)\ln^-1(3x))$
mi sono ricondotto a $\int_(0)^(b)(1)/(x^p \ln^q x)dx$.. converge ${(p<1,\forall q), (p=1, q>1):}$
siccome ho in questo caso $p=-2/5$ e $q=-1$... mi trovo al primo caso..quindi CONVERGE in $U(0^+)$
È esatto?.. chiedo perchè non mi è mai capitato quando vi sono dei numeri negativi e non vorrei aver sbagliato.
Risposte
quando $x\to+\infty$
\[x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right)\sim- x^{\frac{2}{5}} \frac{1}{e^{3x}}= \frac{1}{x^{-\frac{2}{5}} e^{3x}}\to\mbox{converge}\]
quando $x\to0$
\[x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right) \]
converge poiche la funzione è prolungabile per continuità in $0$, cioè
\[\lim_{x\to 0}x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right) =0\]
\[x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right)\sim- x^{\frac{2}{5}} \frac{1}{e^{3x}}= \frac{1}{x^{-\frac{2}{5}} e^{3x}}\to\mbox{converge}\]
quando $x\to0$
\[x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right) \]
converge poiche la funzione è prolungabile per continuità in $0$, cioè
\[\lim_{x\to 0}x^{\frac{2}{5}}\ln\left(1-\frac{1}{e^{3x}}\right) =0\]
ah ok si poteva anche fare così!..
Non l'ho voluto scrivere che era prolungabile con continuità perchè il termine generale (in questo caso la funzione integranda) va bene che tende a 0, ma l'integrale può non convergere! Come per le serie numeriche (per far capire a cosa mi sto riferendo)
Comunque in zero, cioè in questo caso $\int_(0)^(b)f(x)dx$, è giusto anche il mio procedimento?..
Comunque grazie per il tuo suggerimento anche
Non l'ho voluto scrivere che era prolungabile con continuità perchè il termine generale (in questo caso la funzione integranda) va bene che tende a 0, ma l'integrale può non convergere! Come per le serie numeriche (per far capire a cosa mi sto riferendo)
Comunque in zero, cioè in questo caso $\int_(0)^(b)f(x)dx$, è giusto anche il mio procedimento?..
Comunque grazie per il tuo suggerimento anche
"21zuclo":
Comunque in zero, cioè in questo caso $\int_(0)^(b)f(x)dx$, è giusto anche il mio procedimento?..
no perchè l'approssimazione che hai fatto non è vera
"21zuclo":
... il termine generale (in questo caso la funzione integranda) va bene che tende a 0, ma l'integrale può non convergere! Come per le serie numeriche (per far capire a cosa mi sto riferendo)
stai attento:
il paragone con le serie va bene se fai un confronto a $+\infty$ , ma non se fai un confronto al finito; per le serie ha senso fare solo un confronto all'infinito, in quando trattandosi di successioni (cioè la successione delle somme parziali) l'unico "punto" di accumulazione del dominio, che è $\NN$ , è appunto $+\infty;$ per quanto riguarda le funzioni, e quindi gli integrali , puoi fare un confronto in qualsiasi punto $x_0$ che sia d'accumulazone per il dominio. Nel tuo caso il punto $x=0$ è punto di accumulazione per la funzione integranda, dunque ha senso calcolarci il limite, che essendo un numero finito, ti dice che la funzione risulta continua in $x=0$, e in quanto continua è certamente integrabile!
"Noisemaker":
[quote="21zuclo"] ... il termine generale (in questo caso la funzione integranda) va bene che tende a 0, ma l'integrale può non convergere! Come per le serie numeriche (per far capire a cosa mi sto riferendo)
stai attento:
il paragone con le serie va bene se fai un confronto a $+\infty$ , ma non se fai un confronto al finito; per le serie ha senso fare solo un confronto all'infinito, in quando trattandosi di successioni (cioè la successione delle somme parziali) l'unico "punto" di accumulazione del dominio, che è $\NN$ , è appunto $+\infty;$ per quanto riguarda le funzioni, e quindi gli integrali , puoi fare un confronto in qualsiasi punto $x_0$ che sia d'accumulazone per il dominio. Nel tuo caso il punto $x=0$ è punto di accumulazione per la funzione integranda, dunque ha senso calcolarci il limite, che essendo un numero finito, ti dice che la funzione risulta continua in $x=0$, e in quanto continua è certamente integrabile![/quote]
capito!
grazie!.. cioè capito l'errore che ho fatto dopo questa tua spiegazione per $x\to 0$mentre per $x\to +\infty$, la mia minorazione che ho fatto, va bene vero?.. ho provato a verificarla
per $x\to +\infty$
$-(x^(2/5))/(e^(3x))\leq 1/x^2$, moltiplico ambo i membri per $x^2$ e ottengo $-(x^(10/5))/(e^(3x))\leq 1$ e questo per $x\to +\infty$ è verificato..
Comunque grazie!
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