Integrale improprio2
Nel seguente thread vi riporto alcuni passaggi di questo esercizio che ho fatto ma di cui ho fatto i passaggi ma ho molti dubbi sulla loro correttezza...
Determinare per quali valori del parametro reale a>0 esiste l'integrale...
$ int_(0)^(+oo) (e^(-x)-1+x)/(x^a+ln(1+x^3)) dx $
Sviluppando in MacLaurin in x=0
$ lim_(x -> 0) (1-x+1/2x^2+x-1)/(x^a+x^3)=1/2lim_(x -> 0)1/[(x^a+x^3)/x^2]=1/(x^a-2) $
e converge per a>3
Per quanto riguarda invece +oo...(si può fare lo sviluppo in serie taylor maclaurin a +00? Ho cercato di non itulizzarlo nel dubbio $ lim_(x -> +oo) I=x/[x^a+ln(1+x^3)]=(x/[x^a[1+ln(1+x^3)/x^a]))=x/x^a=1/x^(a-1) $ che converge per a>2...
Interseco le soluzioni e affermo che l'integrale converge per a>3... è corretto? Posso fare lo sviluppo di taylor a oo?
Determinare per quali valori del parametro reale a>0 esiste l'integrale...
$ int_(0)^(+oo) (e^(-x)-1+x)/(x^a+ln(1+x^3)) dx $
Sviluppando in MacLaurin in x=0
$ lim_(x -> 0) (1-x+1/2x^2+x-1)/(x^a+x^3)=1/2lim_(x -> 0)1/[(x^a+x^3)/x^2]=1/(x^a-2) $
e converge per a>3
Per quanto riguarda invece +oo...(si può fare lo sviluppo in serie taylor maclaurin a +00? Ho cercato di non itulizzarlo nel dubbio $ lim_(x -> +oo) I=x/[x^a+ln(1+x^3)]=(x/[x^a[1+ln(1+x^3)/x^a]))=x/x^a=1/x^(a-1) $ che converge per a>2...
Interseco le soluzioni e affermo che l'integrale converge per a>3... è corretto? Posso fare lo sviluppo di taylor a oo?
Risposte
"Zumbo":
$ int_(0)^(+oo) (e^(x)-1+x)/(x^a+ln(1+x^3)) dx $
Sviluppando in MacLaurin in x=0
$ lim_(x -> 0) (1-x+1/2x^2+x-1)/(x^a+x^3)=1/2lim_(x -> 0)1/[(x^a+x^3)/x^2]=1/(x^a-2) $
Mmh lo sviluppo di McLaurin dell'esponenziale non va bene - errore di battuta?
$text(McL)(e^x)=1+x+x^2/2+o(x^2)$
Comunque questo passaggio non esiste:
"Zumbo":
$1/2lim_(x -> 0)1/[(x^a+x^3)/x^2]=1/(x^a-2)$
così come non esiste la successiva conclusione anche se i calcoli fossero giusti...
"Zumbo":
converge per a>3
EDIT:
"Zumbo":
Per quanto riguarda invece +oo...(si può fare lo sviluppo in serie taylor maclaurin a +00?
No, ma...
"Zumbo":
$ lim_(x -> +oo) I=x/[x^a+ln(1+x^3)]$
... perché il numeratore è stravolto?
L'esponenziale era un errore di battitura... era e^(-x)... 1) perchè quel passaggio non non esiste???2)Fare il reciproco al denominatore non dovrebbe portare ad una frazione equivalente???3) quindi non si può usare lo sviluppo per x->oo.. giusto?
"Zumbo":
1) perchè quel passaggio non non esiste???2)Fare il reciproco al denominatore non dovrebbe portare ad una frazione equivalente???
Non mi riferivo al reciproco, ma a come hai "semplificato" al denominatore.
"Zumbo":
L'esponenziale era un errore di battitura... era e^(-x)...
Ok, ma allora lasciamo pure così, perché complicarsi la vita?
$1/2 (x^2+o(x^2))/(x^a+x^3+o(x^3))$
Non è che ho semplificato.. ho semplicemente fatto tende la x a 0 e di conseguenze x^3 se ne va perchè fa 0! Mi potresti dire come avrei dovuto procedere? Grazie mille ancora per la disponibilità!
"Zumbo":
Non è che ho semplificato.. ho semplicemente fatto tende la x a 0 e di conseguenze x^3 se ne va perchè fa 0!
...e le altre $x$ non si annullano? Quella povera $x^3$ è stata discriminata!
Prova a concludere con la forma che ti ho dato nel mio post precedente - hint: gerarchia degli infinitesimi
ahahhaah... 
Ma non riesco a semplificarla di più quella frazione perchè al denominatore c'è una somma e non un prodotto! Mi dai qualche suggerimento? :3
Ma non riesco a semplificarla di più quella frazione perchè al denominatore c'è una somma e non un prodotto! Mi dai qualche suggerimento? :3
Ma te l'ho già dato, e la risoluzione è facilissima - oserei dire banale.
Cosa afferma la gerarchia degli infinitesimi? Con quale velocità i diversi termini si avvicinano a $0$? Se $a$ fosse maggiore di $3$ cosa accadrebbe alla frazione? E se $a$ fosse minore di $3$? Quale termine dunque "conta" di più? E quindi per quali valori di $a$ l'integrale converge nell'origine?
Cosa afferma la gerarchia degli infinitesimi? Con quale velocità i diversi termini si avvicinano a $0$? Se $a$ fosse maggiore di $3$ cosa accadrebbe alla frazione? E se $a$ fosse minore di $3$? Quale termine dunque "conta" di più? E quindi per quali valori di $a$ l'integrale converge nell'origine?
Risolto, grazie! Quindi viene sempre per a>3
"Zumbo":
Risolto, grazie! Quindi viene sempre per a>3
No!
Rifletti: se fosse così, prendendo a caso $a=4$, otterremmo
$lim_(x->0^+) (x^2)/(x^4+x^3)= +oo text( di ordine 1) => text(diverge!)$
EDIT: Inoltre (e specialmente sotto esame) devi dimostrare perché converge o diverge, non basta dire "Per questi valori succede questo e quest'altro...", devi saper argomentare per far capire di aver capito.
ma scusa questo denominatore non è asintotico a x^4? perchè infitesimo di ordine maggiore???
...no, la gerarchia degli infinitesimi "è l'opposto" della gerarchia degli infiniti, non conta l'ordine più alto ma il più basso.
A seconda che $a$ sia maggiore o minore di $3$ il denominatore tende a $0$ con ordine diverso che dovrai confrontare con quello del numeratore, per poi ragionare sulla convergenza.
[ot]Consiglio da amico: credo sia meglio che tu ripassi bene la teoria, ma se hai ancora lacune di questo tipo a pochi giorni dall'esame temo che il tempo non ti sarà sufficiente per colmarle. Comunque sia ti porgo i miei auguri.[/ot]
A seconda che $a$ sia maggiore o minore di $3$ il denominatore tende a $0$ con ordine diverso che dovrai confrontare con quello del numeratore, per poi ragionare sulla convergenza.
[ot]Consiglio da amico: credo sia meglio che tu ripassi bene la teoria, ma se hai ancora lacune di questo tipo a pochi giorni dall'esame temo che il tempo non ti sarà sufficiente per colmarle. Comunque sia ti porgo i miei auguri.[/ot]
Credi che abbia troppe lacune? Ho studiato tutta l'estate! 
Eh ma .. quest'anno l'estate non si è proprio vista ... 
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