Integrale improprio Taylor
Ciao a tutti, ho un dubbio che vorrei chiarire circa la risoluzione (troppo sintetica) di un esercizio.
Il testo è il seguente:
L'integrale: \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2 cos x+sinx-2}dx \) è improprio a causa dell’estremo 0 che è una discontinuità di II specie per la funzione. Usando un opportuno criterio di integrabilità, stabilire se esiste finito.
La soluzione è la seguente: calcola il polinomio di Taylor con centro in $x_0 = 0$, ottenendo così il polinomio:
$p(x)=x+o(x)$ ed afferma che, essendo un infinito di ordine 1, l'integrale non esiste.
Non riesco a capire questa conclusione e non riesco a trovare una giustificazione nella teoria del mio libro. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire?
Grazie in anticipo.
Il testo è il seguente:
L'integrale: \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2 cos x+sinx-2}dx \) è improprio a causa dell’estremo 0 che è una discontinuità di II specie per la funzione. Usando un opportuno criterio di integrabilità, stabilire se esiste finito.
La soluzione è la seguente: calcola il polinomio di Taylor con centro in $x_0 = 0$, ottenendo così il polinomio:
$p(x)=x+o(x)$ ed afferma che, essendo un infinito di ordine 1, l'integrale non esiste.
Non riesco a capire questa conclusione e non riesco a trovare una giustificazione nella teoria del mio libro. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire?
Grazie in anticipo.
Risposte
se sul tuo testo vai a guardarti lo sviluppo in serie di Mac Laurin del seno e del coseno non ti sarà difficile accertarti che
$2cosx=2+o(x);senx=x+o(x)$
qundi,$2cosx+senx-2=x+o(x)$
$2cosx=2+o(x);senx=x+o(x)$
qundi,$2cosx+senx-2=x+o(x)$
Sisi il problema non sta nel polinomio, ma nella conclusione: "essendo un infinito di ordine 1, l'integrale non esiste.". E' questo che non capisco...
questo lo dice un teorema reperibile su tutti i testi di analisi che trattano l'argomento
riassumendolo in maniera non rigorosissima :
se $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$ l'integrale diverge
riassumendolo in maniera non rigorosissima :
se $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$ l'integrale diverge
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