Integrale improprio svolto
ciao, vorrei sapere se ho svolto bene lo studio di questo integrale:
$int_(\1) ^ (\infty) (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x dx$
$f(x)$ è positiva quindi posso usare il criterio del confronto.
In questo integrale si ha un puno di singolarità in $x=+infty$
quindi risulta che:
per $x->infty (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x$ è asintotico a $(sqrt(x)(1+1/(2x))-sqrt(x))/x$
$(sqrt(x)(1+ 1/(2x)-1))/x=
(sqrt(x)(1/(2x)))/x=
1/(2sqrt(x^3))$
$int_(\1) ^ (\infty) 1/(sqrt(x^3)) dx$ diverge perchè $3/2>1$
per il criterio del confronto se $int_(\1) ^ (\infty) 1/(sqrt(x^3)) dx$ diverge, anche $int_(\1) ^ (\infty) (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x dx$ diverge.
$int_(\1) ^ (\infty) (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x dx$
$f(x)$ è positiva quindi posso usare il criterio del confronto.
In questo integrale si ha un puno di singolarità in $x=+infty$
quindi risulta che:
per $x->infty (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x$ è asintotico a $(sqrt(x)(1+1/(2x))-sqrt(x))/x$
$(sqrt(x)(1+ 1/(2x)-1))/x=
(sqrt(x)(1/(2x)))/x=
1/(2sqrt(x^3))$
$int_(\1) ^ (\infty) 1/(sqrt(x^3)) dx$ diverge perchè $3/2>1$
per il criterio del confronto se $int_(\1) ^ (\infty) 1/(sqrt(x^3)) dx$ diverge, anche $int_(\1) ^ (\infty) (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x dx$ diverge.
Risposte
Perché diverge ? essendo $3/2 > 1 $ converge per $ x rarr +oo $.
Ciao! Non ho capito qui che fai
E poi, sei proprio sicuro di questa affermazione?
Calcolalo a mano, è molto semplice!
Ps: In genere io quando vedo funzioni di questa forma mi comporto sempre così
\begin{align}
\frac{\sqrt {x+1} -\sqrt x}{x} &=\frac{(\sqrt {x+1} -\sqrt x)(\sqrt {x+1} +\sqrt x)}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt {x+1} +\sqrt x}\\
&=\frac{1}{(\sqrt {x+1} +\sqrt x)x}
\end{align}
In pratica, si ottiene la stessa stima a cui sei pervenuto tu in modo moolto più semplice. Ora ti resta solo da controllare la seconda cosa che ti ho obiettato
"eos.s":
quindi risulta che:
per $ x->infty (sqrt(x+1)-sqrt(x))/x $ è asintotico a $ (sqrt(x)(1+1/(2x))-sqrt(x))/x $
E poi, sei proprio sicuro di questa affermazione?
"eos.s":
$ int_(\1) ^ (\infty) 1/(sqrt(x^3)) dx $ diverge perchè $ 3/2>1 $
Calcolalo a mano, è molto semplice!
Ps: In genere io quando vedo funzioni di questa forma mi comporto sempre così
\begin{align}
\frac{\sqrt {x+1} -\sqrt x}{x} &=\frac{(\sqrt {x+1} -\sqrt x)(\sqrt {x+1} +\sqrt x)}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt {x+1} +\sqrt x}\\
&=\frac{1}{(\sqrt {x+1} +\sqrt x)x}
\end{align}
In pratica, si ottiene la stessa stima a cui sei pervenuto tu in modo moolto più semplice. Ora ti resta solo da controllare la seconda cosa che ti ho obiettato
nel mio libro ho che, sia $\alpha>0$
$\int_\0 ^ \alpha 1/x^a$ converge se $a <1$, diverge se $a >= 1$
[Edit] Scusate questa vale per $x->0$, giusto?
come si calcola a mano? scusi l ignoranza.
$\int_\0 ^ \alpha 1/x^a$ converge se $a <1$, diverge se $a >= 1$
[Edit] Scusate questa vale per $x->0$, giusto?
"chimi":
Calcolalo a mano, è molto semplice!
come si calcola a mano? scusi l ignoranza.
Infatti quello che stai guardando sul tuo libro non corrisponde al caso del tuo esercizio . Lí hai un integrale su un limitato con la funzione integranda che ha problemi in 0, ora hai un integrale su un intervallo illimitato con problemi all'infinito, la trattazione è diversa. Consulta meglio il libro, sarà qualche pagina dopo. L' integrale che dicevo che puoi calcolare a mano si fa semplice se sai fare un integrale indefinito e conosci come si definisce un integrale improprio.
in questo modo:
$\lim_(c to\infty) \int_1 ^ c 1/sqrt(x^3)=$
$\lim_(c to\infty) ln(sqrt(1))-ln(sqrt(c))$
ma viene $-\infty$
$\lim_(c to\infty) \int_1 ^ c 1/sqrt(x^3)=$
$\lim_(c to\infty) ln(sqrt(1))-ln(sqrt(c))$
ma viene $-\infty$
$1/sqrt(x^3)=x^(-\frac{3}{2})$ ora ti è più facile determinare la primitiva? Il logaritmo da dove esce?
consideravo $\int 1/x = ln |x|$
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