Integrale improprio su intervallo limitato.

[galles90]

Buongiorno,
ho il seguente integrale $int_(3/2)^2 (ln(x-1))/(x^3-4x^2+4x)dx$.
Dove chiede di determinare la convergenza qualore fosse possibile.

Procedo così:

Dominio della funzione integranda è definito da $X_f={x in mathbb{R}:x>1, x ne 2}$. Dalla determinazione di $X_f$, si osserva che la funzione integranda $f$ ha una singolarità nel punto $x=2$, in particolare $lim_(x to 2^-)f(x)=- infty$, quindi trattasi di un integrale improprio.



Sia $f(x)=(ln(x-1))/(x^3-4x^2+4x)$
$f(x) ge 0$ per ogni $x>2$, pertanto non è possibile applicare i criteri di convergenza, in particolare del confronto e del condronto asintotico, in quanto richiedono che $f ge 0$ nell'intervallo di integrazione $I=[3/2,2[$.

Dovrei applicare il criterio di convergenza assoluta ?
Ma di questo non ne sono molto convinto, chiedo a voi qualche lucidazione

Cordiali saluti.

[cooper1]

prendi $-f(x)$ che risulta essere positiva in $(1,2)$ e quindi anche nel tuo intervallo

[galles90]

Ciao,
cioè dovrei procedere nel seguento questo ragionamento
$int_a^b f(x)dx=-int_b^a f(x)dx$

[dissonance]

@galles: più che altro, se è vero che \(f(x)\le 0\) su tutto \([a, b]\), allora
\[
\int_a^b f(x)\, dx = -\int_a^b |f(x)|\, dx.\]

[cooper1]

il meno non può apparire dal nulla per magia. devi moltiplicare per 1 e lo fai moltiplicando sopra e sotto per -1 e quindi ti porti esattamente alla forma di @dissonance che puoi anche vedere come $-int_(a)^(b)-f(x)dx$

[galles90]

Si grazie, mi tutto chiaro !

ciao dissonance !

[dissonance]

Prego. In ultima analisi, la risposta era molto più semplice:

Dovrei applicare il criterio di convergenza assoluta ?

Si.