Integrale improprio+ serie
buona sera 
e buon natale 
allora, ho alcuni esercizi che non mi tornano:
1) stabilire se la funzione f(x) è sommabile in I[0,+oo]:
$\int_{0}^{+oo} (2x ln x)/(1+x^3) dx$
ho provato così:
per $ x->0^+ $ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2x ln x) $ cioè ho 0 per -oo non mi viene in mente nulla per risolvere.. help
per $x-> +oo$ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2)/( (ln x)^(-1) x^2) $ per cui converge per confronto asintotico
2) la serie è la seguente:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(senx)^n}{n}$
e al variare di x devo studiare la convergenza assoluta e semplice
io direi che per x=0 => senx=0 => la serie è sempre 0
per x<0 la serie è a termini oscillanti cioè (senx)^n=(-1)^n per cui uso Leibniz
per x>0 è a termini di segno fissato per cui studio normalmente la convergenza
Potrebbe andare come procedimento?
Vi ringrazio
e buon natale allora, ho alcuni esercizi che non mi tornano:
1) stabilire se la funzione f(x) è sommabile in I[0,+oo]:
$\int_{0}^{+oo} (2x ln x)/(1+x^3) dx$
ho provato così:
per $ x->0^+ $ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2x ln x) $ cioè ho 0 per -oo non mi viene in mente nulla per risolvere.. help
per $x-> +oo$ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2)/( (ln x)^(-1) x^2) $ per cui converge per confronto asintotico
2) la serie è la seguente:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(senx)^n}{n}$
e al variare di x devo studiare la convergenza assoluta e semplice
io direi che per x=0 => senx=0 => la serie è sempre 0
per x<0 la serie è a termini oscillanti cioè (senx)^n=(-1)^n per cui uso Leibniz
per x>0 è a termini di segno fissato per cui studio normalmente la convergenza
Potrebbe andare come procedimento?
Vi ringrazio
Risposte
"ing.cane":
buona sera
allora, ho alcuni esercizi che non mi tornano:
1) stabilire se la funzione f(x) è sommabile in I[0,+oo]:
$\int_{0}^{+oo} (2x ln x)/(1+x^3) dx$
ho provato così:
per $ x->0^+ $ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2x ln x) $ cioè ho 0 per -oo non mi viene in mente nulla per risolvere.. help
per $x-> +oo$ : $ ((2x ln x)/(1+x^3) )\sim (2)/( (ln x)^(-1) x^2) $ per cui converge per confronto asintotico
Tieni conto che il logaritmo, in un intorno destro dell'origine, va a infinito più lentamente di qualsiasi potenza positiva dell'infinito campione $(1/x)$: in altre parole, $lim_{x to 0^+} logx/(1/x^k)=lim_{x to 0^+} x^klogx=0$ per ogni $k>0$.
Quindi la tua funzione si può tranquillamente prolungare per continuità nell'origine; in particolare, si mantiene limitata in un intorno di 0 e dunque non dà problemi per l'integrazione.
Per $x to +infty$ non mi è ben chiaro che cosa tu abbia fatto, ma ad occhio direi anche io che converge per confronto asintotico.
per x--> +oo io ho applicato il criterio del confronto asintotico con un'analogo della serie di Abel per gli integrali...
però mi sta venendo il dubbio che non si possa fare perchè c'è la spiegato la prof ma sul libro non c'è scritto nulla
è la seguente valida in un intorno di +oo:
$1/(x^p(logx)^q)$
che:
1)$p>1$ $AA q $ è impropriamente integrabile
2)$0
-a) $q>1$ allora è impr. integrabile
-b)$q<=1$ allora non è impr.integrabile
voi che dite?
cmq il problema si pone perchè io non ho seguito la prof con cui dovrò sostenere l'esame (siccome spiegava veramente malissimoooo) ma un'altra che appunto ci ha spiegato sta roba; adesso mi chiedo: ma se io risolvo così all'esame potrebbe essere segnato errore o cmq non valido?
però mi sta venendo il dubbio che non si possa fare perchè c'è la spiegato la prof ma sul libro non c'è scritto nulla
è la seguente valida in un intorno di +oo:
$1/(x^p(logx)^q)$
che:
1)$p>1$ $AA q $ è impropriamente integrabile
2)$0
-a) $q>1$ allora è impr. integrabile
-b)$q<=1$ allora non è impr.integrabile
voi che dite?
cmq il problema si pone perchè io non ho seguito la prof con cui dovrò sostenere l'esame (siccome spiegava veramente malissimoooo) ma un'altra che appunto ci ha spiegato sta roba; adesso mi chiedo: ma se io risolvo così all'esame potrebbe essere segnato errore o cmq non valido?
Sì, va bene.
Quel criterio che citi mi sembra si dimostri rapidamente usando il metodo di sostituzione (qualcosa tipo $x=e^t$) e poi facendo delle considerazioni sull'ordine di infinitesimo.
Quel criterio che citi mi sembra si dimostri rapidamente usando il metodo di sostituzione (qualcosa tipo $x=e^t$) e poi facendo delle considerazioni sull'ordine di infinitesimo.
e per la serie come posso fare?
grazie
grazie
Ciao
è noto che $sum_(n=1)^(oo)(x^n)/n$ converge assolutamente per $|x|<1$ (si ricava facilmente dal criterio della radice). Inoltre diverge per $x=1$ (diverge per $x>1$) e converge semplicemente per $x=-1$ (criterio di Leibniz) ed è indeterminata per $x<-1$. Poichè $-1<=sinx<=1$, si può concludere che la tua serie converge assolutamente per $x in R - {x in R : x=pi/2 pm k pi}$ con $k in N$, converge semplicemente per $x=3/2pi pm 2k pi$ e diverge per $x=pi/2 pm 2k pi$ (sempre con $k in N$)
è noto che $sum_(n=1)^(oo)(x^n)/n$ converge assolutamente per $|x|<1$ (si ricava facilmente dal criterio della radice). Inoltre diverge per $x=1$ (diverge per $x>1$) e converge semplicemente per $x=-1$ (criterio di Leibniz) ed è indeterminata per $x<-1$. Poichè $-1<=sinx<=1$, si può concludere che la tua serie converge assolutamente per $x in R - {x in R : x=pi/2 pm k pi}$ con $k in N$, converge semplicemente per $x=3/2pi pm 2k pi$ e diverge per $x=pi/2 pm 2k pi$ (sempre con $k in N$)
grazie!!
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