Integrale improprio: problema con logaritmo
Salve a tutti. Ho un problema nel dimostrare che il seguente integrale improprio è integrabile in $\R$.
$$\int_{0}^{+infty} \frac{log(x)}{x^2+a^2}$$.
In infinito, c'è un modo per usare il confronto asintotico, senza svolgere l'integrale e poi passare al limite per $x \rightarrow +infty$??
In zero invece, ho cercato di fare delle maggiorazioni ma ho non pochi problemucci, perchè ricado sempre a maggiorare con qualcosa del tipo $1/x$ che non risulta integrabile.
Aiuti, please?
Grazie
$$\int_{0}^{+infty} \frac{log(x)}{x^2+a^2}$$.
In infinito, c'è un modo per usare il confronto asintotico, senza svolgere l'integrale e poi passare al limite per $x \rightarrow +infty$??
In zero invece, ho cercato di fare delle maggiorazioni ma ho non pochi problemucci, perchè ricado sempre a maggiorare con qualcosa del tipo $1/x$ che non risulta integrabile.
Aiuti, please?
Grazie
Risposte
Stasera sono in vena di vaneggiare.
L'informatica teorica mi ricorda che per $x->+\infty$, $lim_(x->+\infty) log(x)/x^(\alpha)=0$ con $\alpha>0$.
Posso minorare, ad es., $log(x)$ con $\sqrt(x)$ e ottengo come integranda qualcosa del tipo $O(x^(-3/2))$ che converge.
Ammesso che dopo 3 ore giornaliere di viaggio ancora ragiono, nel dubbio non fidarti troppo e per $x->0$ non mi viene in mente niente.
L'informatica teorica mi ricorda che per $x->+\infty$, $lim_(x->+\infty) log(x)/x^(\alpha)=0$ con $\alpha>0$.
Posso minorare, ad es., $log(x)$ con $\sqrt(x)$ e ottengo come integranda qualcosa del tipo $O(x^(-3/2))$ che converge.
Ammesso che dopo 3 ore giornaliere di viaggio ancora ragiono, nel dubbio non fidarti troppo e per $x->0$ non mi viene in mente niente.
grazie per la dritta a più infinito... il problema rimane nell'origine... non posso neanche usare lo sviluppo di Taylor perchè sarei in un intorno di 1 e non di 0...
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