Integrale improprio parametro
Ciao a tutti. Volevo chiedervi come si svolgono questo tipo di esercizi perchè anche guardandoli su internet non riesco a capire il meccanismo. Grazie
\( \int_{1}^{\infty } \frac {x}{x\sqrt{(x-1)}^a} dx \)
Mi chiede per quali valori di alfa, l'integrale converge. Qualcuno sa aiutarmi?
\( \int_{1}^{\infty } \frac {x}{x\sqrt{(x-1)}^a} dx \)
Mi chiede per quali valori di alfa, l'integrale converge. Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
In questo integrale improprio, puoi semplificare e controllare cosa succede per $ x=1 $e per $ x= +00 $ (quindi devi separare gli integrali)
$\int_{1}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
Quindi vai ad applicare gli integrali impropri notevoli ad:
$\int_{1}^{2} 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$ + $\int_{2}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
e vedi come il risultato varia variando $a$
$\int_{1}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
Quindi vai ad applicare gli integrali impropri notevoli ad:
$\int_{1}^{2} 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$ + $\int_{2}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
e vedi come il risultato varia variando $a$
Intanto ti ringrazio molto di avermi risposto. Quello che dici tu però sarebbe lo svolgimento dell'integrale. Non c'è un metodo che sfrutta il grado in modo da confrontarlo con l'integrale notevole $ 1/x^a $ ?
Lo svolgimento da me indicato ti porterebbe a usare un altro integrale improprio notevole, quindi non vedo la differenza. Comunque se proprio vuoi usale quell'integrale notevole, applica una sostituzione
E per controllare cosa succede sugli estremi dell'integrale come dici, cosa devo fare? il limite?
"MementoMori":
In questo integrale improprio, puoi semplificare e controllare cosa succede per $ x=1 $e per $ x= +00 $ (quindi devi separare gli integrali)
$\int_{1}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
Quindi vai ad applicare gli integrali impropri notevoli ad:
$\int_{1}^{2} 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$ + $\int_{2}^{\infty } 1/ \sqrt{(x-1)^a} dx$
e vedi come il risultato varia variando $a$
E riportato qua sopra, e devi solo applicare gli integrali impropri notevoli
il problema è che non so come si applichino gli integrali impropri notevoli. Cioè nel primo mi viene a<2 ma il secondo non riesco a farlo. Non è che puoi aiutarmi velocemente? Ti ringrazio
Nel secondo devi applicare questo integrale notevole (è allegato sotto)
E considerando che $ (x-1) ~ x $ per $x->+oo$
E considerando che $ (x-1) ~ x $ per $x->+oo$
Ecco era proprio la stima che non ho capito. Nel primo per $ x->1 $ veniva $ x^(a/2) $ se non sbaglio e quindi $ a/2<1 $ , mentre nel secondo viene $ x^a $ e quindi $ a>1 $. Cioè come risultato finale $ 1oo $ ?
No comunque ho visto adesso che ho sbagliato a scrivere l'esercizio. Nell'intrgale originale la x a numeratore non c'è e quindi la x a denominatore rimane. Riesci a dirmi in che modo posso separare gli integrali?
No comunque ho visto adesso che ho sbagliato a scrivere l'esercizio. Nell'intrgale originale la x a numeratore non c'è e quindi la x a denominatore rimane. Riesci a dirmi in che modo posso separare gli integrali?
Nello stesso modo, e poi porti la x dentro alla radice
Grazie mille !!
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