Integrale improprio parametrico
Salve a tutti, mi sto scontrando con un integrale improprio parametrico. L’esercizio richiede di trovare per quali valore di $\alpha$ l’integrale è convergente. L’integrale in questione è il seguente: \[ \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{(y-2y^2+1)^\alpha}\ \text{d} y \]
Ho provato a sostituire ponendo \[t=y-2y^2+1\] in modo da ricondurmi alla forma \[ \int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}\ \text{d} x \] ma il differenziale mi crea problemi dal momento che ho \[ \text{d} t=-4y+1 \text{d} y\] e non so come levarmi quella y.
Ho provato pure a scomporre il polinomio ed ottenere quindi \[ -\int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{(2y+1)^\alpha(y-1)^\alpha}\ \text{d} y \] ma non so come proseguire.
So che la soluzione è $\alpha<1$, vorrei però vedere come ci si arriva e quali passaggi sono da fare.
Grazie mille!
Ho provato a sostituire ponendo \[t=y-2y^2+1\] in modo da ricondurmi alla forma \[ \int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}\ \text{d} x \] ma il differenziale mi crea problemi dal momento che ho \[ \text{d} t=-4y+1 \text{d} y\] e non so come levarmi quella y.
Ho provato pure a scomporre il polinomio ed ottenere quindi \[ -\int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{(2y+1)^\alpha(y-1)^\alpha}\ \text{d} y \] ma non so come proseguire.
So che la soluzione è $\alpha<1$, vorrei però vedere come ci si arriva e quali passaggi sono da fare.
Grazie mille!
Risposte
Mostra i tuoi tentativi, così chi ti aiuta saprà farlo al meglio.
Non mi torna tanto il segno meno che moltiplica l'integrale: quel segno meno, se ho capito bene cosa è successo, dovrebbe uscire fuori da un $-2^{\alpha}$ che è stato raccolto a fattor comune al denominatore per poter scomporre il polinomio (correggimi se sbaglio).
Il problema è che gli esponenti reali vogliono basi non negative (in questo caso positiva perché è al denominatore), perciò $-1^{\alpha}$ non è definito se $\alpha$ è reale.
Il testo dell'esercizio è proprio posto così oppure ci sono stati passaggi intermedi per arrivare a quest'integrale che hai proposto?
Comunque, supponendo di aver risolto questo problema, nota che l'integrale è improprio solo in $y=1$; perciò dimostrata l'eventuale convergenza in tale punto si ha la convergenza dell'integrale.
Arrivato alla scomposizione potresti fare un cambio di variabile ponendo $y-1=z$, dal quale segue che $\text{d}y=\text{d}z$.
Dunque l'integrale si riscrive
$$-\int_{-\frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{(2z+3)^{\alpha}z^{\alpha}} \text{d}z$$
Ora prova un criterio del confronto asintotico con $f_{\alpha}(z):=\frac{1}{z^{\alpha}}$.
Il problema è che gli esponenti reali vogliono basi non negative (in questo caso positiva perché è al denominatore), perciò $-1^{\alpha}$ non è definito se $\alpha$ è reale.
Il testo dell'esercizio è proprio posto così oppure ci sono stati passaggi intermedi per arrivare a quest'integrale che hai proposto?
Comunque, supponendo di aver risolto questo problema, nota che l'integrale è improprio solo in $y=1$; perciò dimostrata l'eventuale convergenza in tale punto si ha la convergenza dell'integrale.
Arrivato alla scomposizione potresti fare un cambio di variabile ponendo $y-1=z$, dal quale segue che $\text{d}y=\text{d}z$.
Dunque l'integrale si riscrive
$$-\int_{-\frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{(2z+3)^{\alpha}z^{\alpha}} \text{d}z$$
Ora prova un criterio del confronto asintotico con $f_{\alpha}(z):=\frac{1}{z^{\alpha}}$.
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