Integrale Improprio Parametrico
Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardo questo integrale improprio parametrico : \(\displaystyle \int_1^\infty (1-1/x^a)^3 * 1/x^2 dx \). Il testo dell'esercizio dice: si stabilisca, al variare del parametro α ∈ R il carattere dell'integrale improprio e successivamente, ponendo a=1, calcolare(risolto) l'integrale improprio .
Il problema è determinare il valore di a. Per fare ciò valuto i seguenti tre casi a=0; a>0 e a<0.
Fin qui tutto bene. In a=0, l'integrale imp. converge ed è nullo, semplice.
Nel caso a>0 , nell'estremo di integrazione 1 l'integrale improprio converge ed è nullo anch'esso. Il problema è in \(\displaystyle \infty\) dove utilizzo il confronto asintotico per \(\displaystyle x-> \infty \) , in cui scrivo f(x) come \(\displaystyle \int_1^\infty (-1/x^{(3a+2)} dx \). Così facendo, l'integrale improprio dovrebbe convergere per \(\displaystyle a>-1/3 \) e divergere per \(\displaystyle a<= -1/3 \).Tuttavia, guardando successivamente la soluzione , noto che il professore ha usato , sempre caso a>0, il confronto asintotico arrivando a valutare solo \(\displaystyle 1/ x^2 \) senza tenere in considerazione il valore di a . Come mai?
Non riesco proprio a capire
Un ringraziamento speciale a chi risponderà!
Il problema è determinare il valore di a. Per fare ciò valuto i seguenti tre casi a=0; a>0 e a<0.
Fin qui tutto bene. In a=0, l'integrale imp. converge ed è nullo, semplice.
Nel caso a>0 , nell'estremo di integrazione 1 l'integrale improprio converge ed è nullo anch'esso. Il problema è in \(\displaystyle \infty\) dove utilizzo il confronto asintotico per \(\displaystyle x-> \infty \) , in cui scrivo f(x) come \(\displaystyle \int_1^\infty (-1/x^{(3a+2)} dx \). Così facendo, l'integrale improprio dovrebbe convergere per \(\displaystyle a>-1/3 \) e divergere per \(\displaystyle a<= -1/3 \).Tuttavia, guardando successivamente la soluzione , noto che il professore ha usato , sempre caso a>0, il confronto asintotico arrivando a valutare solo \(\displaystyle 1/ x^2 \) senza tenere in considerazione il valore di a . Come mai?
Non riesco proprio a capire
Un ringraziamento speciale a chi risponderà!
Risposte
semplicemente perchè per $a>0$ e a $+infty$ quello che sta in parentesi tende ad $1$,il che vuol dire che l'integrando è asintotico a $1/x^2$
Oh, altro svarione! Grazie mille, quantunquemente!
Ultima cosa ed ho risolto tutti i miei dubbi. Nel caso a<0 , perché il professore sostiene che l'integrale converge se a>-1/3? non devo considerare a come -a?
grazie mille
Ultima cosa ed ho risolto tutti i miei dubbi. Nel caso a<0 , perché il professore sostiene che l'integrale converge se a>-1/3? non devo considerare a come -a?
grazie mille
"Dave95":
non devo considerare a come -a?
no,lapalissaniamente,$-a$ non è $a$
il fatto che $a$ sia negativo non vuol dire affatto che si debba mettergli un $-$ davanti
per $a<0$ ,a $+infty$ quello che sta tra parentesi è asintotico a $1/x^a$ e quindi tutto l'integrando è asintotico a $1/(x^(2+3a))$ e quindi deve essere $2+3a > 1$
Non riesco a capire perché sia asintotico a \(\displaystyle 1/ x^a \).
Facciamo finta di dare un valore ad a che è minore di 0.Per esempio, a=-1 .
Sostituisco -1 ad a e ricavo la funzione , \(\displaystyle (1-x)^3 * 1/ x^2 \), mi sbaglio?
Lo stesso ragionamento non vale per a<0 ?
Facciamo finta di dare un valore ad a che è minore di 0.Per esempio, a=-1 .
Sostituisco -1 ad a e ricavo la funzione , \(\displaystyle (1-x)^3 * 1/ x^2 \), mi sbaglio?
Lo stesso ragionamento non vale per a<0 ?
ciò che sta in parentesi si può scrivere come $(x^a-1)/x^a$
ora,se $a <0 $e $xrarr+infty$,il numeratore tende a $-1$
quindi sì,in effetti ciò che sta in parentesi è asintotico a $-1/x^alpha$ ma ai fini del problema non cambia niente
p.s. o anche ,più semplicemente,nelle nostre ipotesi $1/x^a$ è un infinito e quindi $1$ è ininfluente
ora,se $a <0 $e $xrarr+infty$,il numeratore tende a $-1$
quindi sì,in effetti ciò che sta in parentesi è asintotico a $-1/x^alpha$ ma ai fini del problema non cambia niente
p.s. o anche ,più semplicemente,nelle nostre ipotesi $1/x^a$ è un infinito e quindi $1$ è ininfluente
Credo di aver capito. Indipendentemente dal valore di a purché sia minore di 0 o maggiore di 0 , l'integrale improprio diverge o converge per determinati valori. In sostanza, il valore di a che assume valori minori o maggiori di 0 nell'integrale improprio vale sempre a e lo tratto come tale, corretto? E' un po' contorto, passami il termine 
se ti riferisci al fatto che $a$ si scrive sempre $a$ indipendentemente dal suo segno,sì,è chiaro
Era quello il problema. Grazie mille quantunquemente, super gentilissimo!
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