Integrale improprio misto

[Christiantric]

Ragazzi mi aiutate a risolvere questo integrale? Nel punto singolare 0 credo di aver trovato giusto che converge per a<3
ma all'infinito? Ecco il problema:
$int_0^oo{log|1-x^2|}/x^adx$
Grazie in anticipo a tutti

[Sk_Anonymous]

"Christiantric":Ragazzi mi aiutate a risolvere questo integrale? Nel punto singolare 0 credo di aver trovato giusto che converge per a<3
ma all'infinito? Ecco il problema:
$int_0^oo{log|1-x^2|}/x^adx$
Grazie in anticipo a tutti

L'integrale non converge, a prescindere da ogni altra considerazione, visto che l'integranda non è limitata in nessun compatto $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ tale che $0 < a < 1 < b$.

[Christiantric]

"DavidHilbert":[quote="Christiantric"]Ragazzi mi aiutate a risolvere questo integrale? Nel punto singolare 0 credo di aver trovato giusto che converge per a<3
ma all'infinito? Ecco il problema:
$int_0^oo{log|1-x^2|}/x^adx$
Grazie in anticipo a tutti

L'integrale non converge, a prescindere da ogni altra considerazione, visto che l'integranda non è limitata in nessun compatto $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ tale che $0 < a < 1 < b$.[/quote]

Purtroppo devo dirti che l'integrale deve convergere per determinati valori di a>0...e questo per come è posto l'esercizio. Forse avevo dimenticato di dirti di considerare solo valori di a positivi?

[Sk_Anonymous]

Ehmmm... Ho detto una stronzata, mi son posto un problema circa il comportamento dell'integranda in un intorno del p.to $x = 1$ (dove questa è di fatto singolare!) che in realtà non sussiste, visto che $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \log|1-x| dx$ converge. Pardon...

[Christiantric]

"DavidHilbert":Ehmmm... Ho detto una stronzata, mi son posto un problema circa il comportamento dell'integranda in un intorno del p.to $x = 1$ (dove questa è di fatto singolare!) che in realtà non sussiste, visto che $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \log|1-x| dx$ converge. Pardon...

E quindi come si comporta l'integrale all'infinito? Potrei in qualche modo risolvere per confronto? Magari modificando opportunamente l'integranda?

[Sk_Anonymous]

"Christiantric":Determinare ogni $a \in \mathbb{R}$ per cui $int_0^oo{log|1-x^2|}/x^adx$ converge.

...per rimediare a me stesso, mi tocca così risolverti il problema: scocciatura! Sia $X$ il sottoinsieme massimale di $\mathbb{R}^+$ in cui è eventualmente definita la funzione $f_a: X \to \mathbb{R}: x \to {log|1-x^2|}/x^a$, al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$. Ovviamente $X = ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[$. Si vuole stabilire per quali valori del parametro $a \in \mathbb{R}$ l'integrale improprio $J_a = \int_0^{+\infty} f_a(x) dx$ è convergente. Poiché $\lim_{x \to 1} f_a(x) = -\infty$, la condizione si traduce di fatto nell'imporre l'esistenza simultanea degli integrali (eventualmente impropri) $J_{a,1} = \int_0^h f_a(x) dx$; $J_{a,2} = \int_h^1 f_a(x) dx$; $J_{a,3} = \int_1^k f_a(x) dx$; $J_{a,4} = \int_k^{+\infty} f_a(x) dx$, dove $h, k$ sono numeri reali arbitrari t.c. $0 < h < 1$ e $k > 1$. Segue discussione:

i) affinché $J_{a,4}$ esista, in senso generalizzato, è necessario e sufficiente che esista finito il limite $\lim_{t \to +\infty} \int_k^t f_a(x) dx$. Senonché $f_a(x) \ge 1/x^a$, definitivamente per $x \ge k$, e perciò $J_{a,4} \ge \int_k^{+\infty} dx/x^a$, purché $k$ sia sufficientemente grande. Se dunque $a \le 1$, banalmente $J_{a,4}$ diverge, poiché minorato da un integrale a sua volta divergente. Sia pertanto d'ora innanzi $a > 1$. Se $b$ è un qualunque numero reale fissato tale che $1 < b < a$, vale allora $\lim_{x \to +\infty} x^b f_a(x) = 0$, e perciò esiste $H > 0$ tale che $0 < f_a(x) < 1/x^b$, per ogni $x$ reale $> H$. Dunque $J_{a,4} \le \int_k^{\+infty} dx/x^b$, purché $k$ sia sufficientemente grande, e l'integrale a secondo membro è convergente. Dunque per confronto $J_{a,4}$ è anch'esso convergente.

ii) Per $x \to 1$, risulta $f_a(x) ~ \log|1-x^2|$, e perciò $J_{a,2}$ e $J_{a,3}$ convergono entrambi. Infatti $\int \log|1-x^2| dx = (x-1) \log|1-x| -2x + 2 \log|1+x| + c$, dove $c$ è un’arbitraria costante additiva reale, e pertanto $\lim_{x \to 1} \int \log|1-x^2| dx = -2 + 2\log(2) + c$.

iii) Da quel che ho capito, questa parte dell’esercizio l’hai risolta già da te, per cui non mi spendo in ulteriori chiacchiere.