Integrale improprio: mi sono arreso

[beppe_c]

ho questo integrale improprio:

$ int_(4)^(6) log(sqrt(x) - 2) $

non riesco proprio a farlo. Non è da fare sicuramente calcolando la primitiva. Ho provato a confrontarlo con qualcosa ma niente.. si comporta come logx ma come faccio a dimostrarlo?

[maurer]

Come si integra il logaritmo? Per parti:
[tex]\displaystyle \int \log(\sqrt{x}-2)dx = \int 1\cdot \log(\sqrt{x}-2)dx = x\log(\sqrt{x}-2) - \int\frac{x}{\sqrt{x}-2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = x\log(\sqrt{x}-2) - \int \frac{x}{2x-4\sqrt{x}}dx[/tex]
adesso sostituisci [tex]t = \sqrt{x}[/tex] e ti riconduci ad un bell'integrale di una funzione razionale, che si può sempre fare.

[beppe_c]

maaa... probabilmente dico una cazzata.. xò non potrei porre ? t = sqrt(x) - 2 ? , portando così un estremo a zero, e studiare in qualche modo il modulo della funzione cercando di confrontarla a qualcosa?=

[maurer]

"beppe_c":
Non è da fare sicuramente calcolando la primitiva.

Ma perché ti sei auto-convinto di questo? Il mio precedente post dovrebbe averti convinto che è possibile calcolare la primitiva, anche se non l'ho fatto esplicitamente e ti ho lasciato qualche conto da fare.

"beppe_c":
xò non potrei porre ? t = sqrt(x)-2?

Puoi fare tutto quello che vuoi, basta che ti porti alla soluzione. Hai provato a vedere come si trasforma l'integrando? L'integrazione non è una skill facile da acquisire ed è importante fare un sacco di esercizi per accumulare molta esperienza. In questo caso va bene anche la strada che suggerisci, e ti invito a sviluppare per bene i conti. Inizio io: posto [tex]t = \sqrt{x}-2[/tex], ricaviamo [tex]x = (t+2)^2[/tex], da cui [tex]dx = 2(t+2)dt[/tex]. Quindi l'integrale (improprio, perché non dobbiamo fare nessuna stima numerica in quanto possiamo esprimere la primitiva in termini di funzioni note) diventa:
[tex]\int 2(t+2)\log tdt[/tex]
sei capace ad andare avanti?

[beppe_c]

ciao maurer, grazie x l'aiuto.. all'esame l'avevo risolta anch'io x parti e poi x sostituzione. L'esercizio era diviso in 2 parti, il primo chiedeva semplicemente il calcolo della primitiva, il secondo l'integrale improprio.. specificando che l'integrale improprio poteva essere fatto senza necessariamente il calcolo della primitiva. Quindi, avendo allo scritto utilizzato la primitiva, mi aspettavo una possibile domanda sul confronto.. che puntualmente è arrivata. Diciamo che me la sono cavata enunciando il teorema del confronto e il comportamento della funzione nota 1/x^a

grazie mille comunque $ x $ l'aiuto e $ x $ la disponibilità..