Integrale improprio $int_0^(+oo)sqrt(x)/e^x dx$
ciao a tutti,
ho un altro integrale improprio da sottoporvi: $int_0^(+oo)sqrt(x)/e^x dx$
questa volta il problema è solo per $x->(+oo)$ giusto?
il punto è che devo verificare la convergenza senza calcolarlo, quindi devo usare per forza il criterio del confronto... a me era veuto in mente di confrontarlo con $e^-x$ era giusta l'intuizione?
grazie mille
ho un altro integrale improprio da sottoporvi: $int_0^(+oo)sqrt(x)/e^x dx$
questa volta il problema è solo per $x->(+oo)$ giusto?
il punto è che devo verificare la convergenza senza calcolarlo, quindi devo usare per forza il criterio del confronto... a me era veuto in mente di confrontarlo con $e^-x$ era giusta l'intuizione?
grazie mille
Risposte
Tieni conto che prima o poi $e^x>x^n$ per ogni $n$ naturale.
quindi un possibile integrale per il confronto quale sarebbe?
Scegli l'$n$ giusto in modo tale che $\sqrt x/(x^n)$ ti dia un integrale convergente.
considerato che $int_0^a x^(-n) dx$ converge se $n<1$ allora n=1 potrebbe andare bene?
in tal caso $int_0^a x^(1/2-1) dx = int_0^a x^(-1/2)dx$ quindi è convergente giusto?
in tal caso $int_0^a x^(1/2-1) dx = int_0^a x^(-1/2)dx$ quindi è convergente giusto?
No, $n=1$ è troppo poco, ti viene la potenza $1/2$ che non ti rende convergente l'integrale finale.
non vale la regola che ho postato?
Quella vale per la convergenza in $0$, non all'infinito.
quindi potrei usare la regola:
$int_a^oo x^(-n)dx$ che è covergente per $n>1$ ?
in tal caso se scelgo $n=2$ posso affermare che è convergente?
$int_a^oo x^(-n)dx$ che è covergente per $n>1$ ?
in tal caso se scelgo $n=2$ posso affermare che è convergente?
Ok, ora va bene.
Caro kily
permettimi di scrivere l'integrale da te proposto in forma un poco differente...
$int_0^(+oo) x^(1/2)*e^(-x)*dx$ (1)
Abbiamo visto che l'integrale converge. Dal momento che all'esame ti potrà capitare un caso simile proviamo ad impostare il problema in modo un poco più generale. Dato l'integrale...
$int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx$ (2)
... si chiede per quali valori di $t$ converge... te la senti di provare?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
permettimi di scrivere l'integrale da te proposto in forma un poco differente...
$int_0^(+oo) x^(1/2)*e^(-x)*dx$ (1)
Abbiamo visto che l'integrale converge. Dal momento che all'esame ti potrà capitare un caso simile proviamo ad impostare il problema in modo un poco più generale. Dato l'integrale...
$int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx$ (2)
... si chiede per quali valori di $t$ converge... te la senti di provare?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
per $t>=1/2$ ? non lo so sono completamente negato per questi ragionamenti!
... e tu prova lo stesso!... meglio qui tra noi che non ad un esame... o no?... 
... e poi non 'sparare a caso'!... fai come il grande Bobby Fisher [colui che sconfisse Boris Spassky nel 1972 divenendo campione del mondo...] il quale diceva : se non sai che cosa fare aspetta che l'avversario ti 'suggerisca' una mossa... quella è senz'altro sbagliata!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... e poi non 'sparare a caso'!... fai come il grande Bobby Fisher [colui che sconfisse Boris Spassky nel 1972 divenendo campione del mondo...] il quale diceva : se non sai che cosa fare aspetta che l'avversario ti 'suggerisca' una mossa... quella è senz'altro sbagliata!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
un aiutino?
D'accordo... Proviamo a scrivere...
$g(t)=int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx$ (1)
... e a calcolare per parti l'integrale...
$g(t)= int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx= 1/(1+t)*|x^(1+t)*e^(-x)|_0^(+oo)+1/(1+t)*int_0^(+oo) x^(1+t)*e^(-x)*dx=$
$=g(1+t)/(1+t)$ (2)
Osservando la (2), che cosa si può dire sul 'valore limite' di $t$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$g(t)=int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx$ (1)
... e a calcolare per parti l'integrale...
$g(t)= int_0^(+oo) x^t*e^(-x)*dx= 1/(1+t)*|x^(1+t)*e^(-x)|_0^(+oo)+1/(1+t)*int_0^(+oo) x^(1+t)*e^(-x)*dx=$
$=g(1+t)/(1+t)$ (2)
Osservando la (2), che cosa si può dire sul 'valore limite' di $t$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
mi vergogno a dirlo ma non ne ho idea... sto tentando una preparazione in extremis sugli integrali impropri perchè credo di averli sbagliati allo scritto, e in + non sono certo portato per questa materia purtroppo!
Riscriviamo la formula cui siamo arrivati in maniera più semplice...
$g(t)= g(1+t)/(1+t)$ (1)
Che cosa ti suggerisce il termine $1+t$ al denominatore?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$g(t)= g(1+t)/(1+t)$ (1)
Che cosa ti suggerisce il termine $1+t$ al denominatore?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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