Integrale improprio help..grazie
Scusate il disturbo. Trovo notevoli difficoltà a risolvere il seguente integrale improprio:
$int_(1)^(+oo) (e^(-sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x$
Mi viene : $-2/e$, cioè ho operato per sostituzione ponendo $sqrt(x)= t$
il differenziale sarebbe pari a : $dx= 2t dt$
Ma alla fine ottengo :
$lim_(a->+oo) 2/e^a - 2/e$ il quale mi da $0-2/e= -2/e$
Poi dovrei sostituire alla $t$ il valore di $sqrt(x)$....ma credo di sbagliare.
Grazie in anticipo a coloro che mi aiuteranno a capire anche con passaggi semplici.
Fausto
$int_(1)^(+oo) (e^(-sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x$
Mi viene : $-2/e$, cioè ho operato per sostituzione ponendo $sqrt(x)= t$
il differenziale sarebbe pari a : $dx= 2t dt$
Ma alla fine ottengo :
$lim_(a->+oo) 2/e^a - 2/e$ il quale mi da $0-2/e= -2/e$
Poi dovrei sostituire alla $t$ il valore di $sqrt(x)$....ma credo di sbagliare.
Grazie in anticipo a coloro che mi aiuteranno a capire anche con passaggi semplici.
Fausto
Risposte
@fausto_1: Benvenuto.
Come vedi ho trasformato in codice MathML le tue formule (per imparare questo semplice linguaggio basta cliccare sul link precedente).
Vedi se tutto ti torna giusto, o se ho saltato qualcosa.
Per l'integrale, il risultato è giusto a parte un segno (deve venire [tex]$\tfrac{2}{e}$[/tex]... Anche perchè la funzione integranda è positiva in $[1,+\infty[$, perciò l'integrale definito non può essere negativo!).
Per quanto riguarda il procedimento: hai calcolato l'integrale indefinito di [tex]$2e^{-t}$[/tex], che è [tex]$-2e^{-t}$[/tex]; a questo punto puoi scegliere due strade:
- o ritorni alla variabile [tex]$x$[/tex] e calcoli [tex]$\lim_{a\to +\infty} \int_1^a \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \text{d} x =\lim_{a\to +\infty} \left[ -2e^{-\sqrt{x}}\right]_1^{a}$[/tex];
- oppure ricordi che, per il teorema di sostituzione negli integrali definiti, hai:
[tex]$ \int_1^a \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \text{d} x \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} \int_1^{\sqrt{a}} 2e^{-t}\ \text{d} t$[/tex] (la sostituzione negli integrali definiti trasforma anche gli estremi d'integrazione)
e calcoli il limite [tex]$\lim_{a\to +\infty} \int_1^{\sqrt{a}} 2e^{-t}\ \text{d} t$[/tex].
Ovviamente il risultato deve essere lo stesso.
Come vedi ho trasformato in codice MathML le tue formule (per imparare questo semplice linguaggio basta cliccare sul link precedente).
Vedi se tutto ti torna giusto, o se ho saltato qualcosa.
Per l'integrale, il risultato è giusto a parte un segno (deve venire [tex]$\tfrac{2}{e}$[/tex]... Anche perchè la funzione integranda è positiva in $[1,+\infty[$, perciò l'integrale definito non può essere negativo!).
Per quanto riguarda il procedimento: hai calcolato l'integrale indefinito di [tex]$2e^{-t}$[/tex], che è [tex]$-2e^{-t}$[/tex]; a questo punto puoi scegliere due strade:
- o ritorni alla variabile [tex]$x$[/tex] e calcoli [tex]$\lim_{a\to +\infty} \int_1^a \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \text{d} x =\lim_{a\to +\infty} \left[ -2e^{-\sqrt{x}}\right]_1^{a}$[/tex];
- oppure ricordi che, per il teorema di sostituzione negli integrali definiti, hai:
[tex]$ \int_1^a \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \text{d} x \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} \int_1^{\sqrt{a}} 2e^{-t}\ \text{d} t$[/tex] (la sostituzione negli integrali definiti trasforma anche gli estremi d'integrazione)
e calcoli il limite [tex]$\lim_{a\to +\infty} \int_1^{\sqrt{a}} 2e^{-t}\ \text{d} t$[/tex].
Ovviamente il risultato deve essere lo stesso.
Grazie infinite sia per la conversione in codice Mathml sia per la spiegazione.
Il mio errore è stato nell'aver sbagliato a calcolare la primitiva di $2e^{-t}$
Il fatto è che non mi è ancora chiaro perchè la primitiva di $2e^{-t}$
risulta essere $-2e^{-t}$
Grazie ancora
Il mio errore è stato nell'aver sbagliato a calcolare la primitiva di $2e^{-t}$
Il fatto è che non mi è ancora chiaro perchè la primitiva di $2e^{-t}$
risulta essere $-2e^{-t}$
Grazie ancora
Perchè c'è un meno all'esponente.
Infatti quando derivi [tex]$F(x):=e^{-t}$[/tex] viene fuori [tex]$f(x):=-e^{-t}$[/tex], sicché [tex]$F(x)$[/tex] è una primitiva di [tex]$f(x)$[/tex]; di conseguenza cambiando i segni trovi che [tex]$-F(x)=-e^{-t}$[/tex] è una primitiva di [tex]$-f(x)=e^{-t}$[/tex].
Infatti quando derivi [tex]$F(x):=e^{-t}$[/tex] viene fuori [tex]$f(x):=-e^{-t}$[/tex], sicché [tex]$F(x)$[/tex] è una primitiva di [tex]$f(x)$[/tex]; di conseguenza cambiando i segni trovi che [tex]$-F(x)=-e^{-t}$[/tex] è una primitiva di [tex]$-f(x)=e^{-t}$[/tex].
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