Integrale improprio (e serie numerica)

[keccogrin-votailprof]

Ciao a tutti,

vi propongo il seguente integrale:
\(\displaystyle \int_{3}^{+\infty} \frac{log x}{x} dx = \) ? Converge a qualche numero reale?

Altra domanda:
la funzione integranda \(\displaystyle f(x) = \frac {log x}{x} \) è positiva e monotona decrescente in \(\displaystyle [+3; +\infty) \) ?

Se le domande precedenti hanno dato esito positivo, non è forse applicabile allora il criterio di MacLaurin per la seguente serie numerica: \(\displaystyle \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{log n}{n}\) ? Quindi posso concludere che la serie converge semplicemente?

Grazie in anticipo per le risposte,
Ciao

[Gi81]

Non è difficile dimostrare che $int log(x)/x dx = [log^2(x)]/2 +c$ (tieni presente che la derivata di $log(x)$ è $1/x$),
quindi direi che il tuo integrale definito diverge a $+oo$.

[21zuclo]

Per quanto riguarda la serie

"EdmondDantès":serie numerica: \(\displaystyle \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{log n}{n}\)

io farei così, prima di tutto mettiamo a posto bene il termine generale $a_n=(\ln n)/(n)= (1)/(n\cdot \ln^(-1) n)$

così ottieni questa serie $\sum_{3}^{+\infty} (1)/(n \cdot \ln^(-1) n)$

in analisi ti fanno studiare questa serie campione $\sum_{2}^{+\infty} (1)/(n^p \cdot \ln^q n)$ che
CONVERGE solo quando $p>1$ oppure $p=1\vee q>1$
DIVERGE solo quando $p=1\vee q\leq 1$ oppure $p<1$

confrontandola con la tua serie, direi che siamo nel caso quando $p=1\vee q\leq 1$ per cui la tua serie di partenza. Diverge!