Integrale improprio e limitatezza

[pepp1995]

Premessa: sono a conoscenza che i metodi comuni per mostrare se una funzione sia limitata o meno:
1. tracciare una retta e capire se il grafico sta sopra,sotto oppure è limitata
2. utilizzare delle disequazioni (che però possono portare a termini non elementari)

Dato un integrale del tipo $ int_(1)^(+oo ) lnx/x^2 dx $ ( di prima specie)
ed uno del tipo $ int_(1/2)^(1) 1/sqrt(1-x) dx $ (di seconda specie)

Le condizioni affinché un integrale sia definito sono:
(1) che l'integrale debba riferirsi ad un intervallo CHIUSO e LIMITATO
(2) che la funzione integranda sia definita e LIMITATA in tale intervallo

DOMANDA1:
Per gli integrali di prima specie non vale più la prima ipotesi (si considerano intervalli NON LIMITATI) ma la seconda continua ancora a valere. Ora vale il teorema per cui :
"una funzione continua in un intervallo del tipo [a,b] è limitata"
Il fatto è che trovandomi un integrale della forma:

$ int_(1)^(+oo ) ln(x)/x^2 dx $

Visto che l'intervallo è della forma [a,+inf) come fa ad essere ancora limitata??
Da quel che sò "una funzione definita e continua su un sottoinsieme NON COMPATTO può non essere Limitata".

DOMANDA2:
Problema analogo nel caso degli integrali di seconda specie per cui decade anche l'ipotesi della limitatezza della funzione.
Esempio: mi viene dato un integrale e mi si dice "calcola l'integrale in questo intervallo [1,2]" .Visto che ho un intervallo chiuso e limitato , mi basta verificare la seconda ipotesi per capire se si tratta di un integrale definito o un integrale improprio di seconda specie.
Ora per farlo vado a vedere se la funzione è continua nell'intervallo [1,2] :
- se lo è , ho l'integrale definito di Riemann
-se non lo è , ho un integrale di seconda specie (es. 1 è un punto di discontinuità quindi ragiono sull'intervallo Aperto (1,2])

[otta96]

"pepp1995":Visto che l'intervallo è della forma [a,+inf) come fa ad essere ancora limitata??
Da quel che sò "una funzione definita e continua su un sottoinsieme NON COMPATTO può non essere Limitata".

È vero che "una funzione definita e continua su un sottoinsieme NON COMPATTO può non essere Limitata", ma questo non è la stessa cosa di dire "una funzione continua su un insieme non compatto allora non può essere limitata", è cambiato solo l'ordine relativo tra le parole "può non" e "non può", ma la differenza è enorme, riflettici su.
La seconda domanda sinceramente non ho capito quale sia.

[donald_zeka]

Ti servirebbe un ripasso di teoria...