Integrale improprio e convergenza
Salve, ho qualche perplessità sugli integrali impropri.
L'esercizio in esempio mi chiede di stabilire se un integrale è convergente e in caso affermativo di calcolarlo.
Il fatto è, per capire se un integrale è convergente non devo di per se calcolarlo?
$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx $
Vedo che la funzione è continua in $R$ e quindi anche nell'intervallo chiuso di integrazione.
Mi rimando alla funzione più semplice $1/x^2$ facendo l'equivalenza asintotica
$(x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) = (x2*sqrt(1+1/x^2)) /(x^4*(1+2/x^2+1/x^4)) ~~_(x->+oo) 1/x^2 $
E quindi studio ora l'integrale improprio di questa nuova funzione equivalente
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) 1/x^2 dx = lim_(M->+oo) (-1/M+1) = 1$
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?
Invece sul testo delle soluzioni dice prima che l'integrale di seconda specie converge perché $1/x^2$ è infinitesima e poi fa delle sostituzioni con $x^2+1=t^2$ e alla fine dice che l'integrale da come risultato $1/sqrt(2)$
L'esercizio in esempio mi chiede di stabilire se un integrale è convergente e in caso affermativo di calcolarlo.
Il fatto è, per capire se un integrale è convergente non devo di per se calcolarlo?
$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx $
Vedo che la funzione è continua in $R$ e quindi anche nell'intervallo chiuso di integrazione.
Mi rimando alla funzione più semplice $1/x^2$ facendo l'equivalenza asintotica
$(x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) = (x2*sqrt(1+1/x^2)) /(x^4*(1+2/x^2+1/x^4)) ~~_(x->+oo) 1/x^2 $
E quindi studio ora l'integrale improprio di questa nuova funzione equivalente
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) 1/x^2 dx = lim_(M->+oo) (-1/M+1) = 1$
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?
Invece sul testo delle soluzioni dice prima che l'integrale di seconda specie converge perché $1/x^2$ è infinitesima e poi fa delle sostituzioni con $x^2+1=t^2$ e alla fine dice che l'integrale da come risultato $1/sqrt(2)$
Risposte
Ciao,
tu hai mostrato che l'integranda va come $\frac{1}{x^2}$, che notoriamente è un integrale convergente su $[1,+\infty)$, dunque, per confronto asintotico, allora pure l'integrale di partenza è convergente.
Tu sbagli qui:
Puoi solo dire che converge (per confronto asintotico appunto), ma non a quale valore converge.
Poi il testo, vista la semplicità dell'integranda, nota che al denominatore hai il quadrato di $(x^2+1)$, e lo risolve esplicitamente. Bada bene che però spesso questo non si può risolvere esplicitamente, ed è per questo che ha senso chiedersi a priori se converga o meno.
tu hai mostrato che l'integranda va come $\frac{1}{x^2}$, che notoriamente è un integrale convergente su $[1,+\infty)$, dunque, per confronto asintotico, allora pure l'integrale di partenza è convergente.
Tu sbagli qui:
"Jaeger90":
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?
Puoi solo dire che converge (per confronto asintotico appunto), ma non a quale valore converge.
Poi il testo, vista la semplicità dell'integranda, nota che al denominatore hai il quadrato di $(x^2+1)$, e lo risolve esplicitamente. Bada bene che però spesso questo non si può risolvere esplicitamente, ed è per questo che ha senso chiedersi a priori se converga o meno.
In che senso è notoriamente convergente? In base a quali regole? Perchè non riesco a trovare dei proceduimenti generici per capirlo...
Poi mi sembra strano che se comunque le funzioni son praticamente equivalenti convergono in modo diverso. Non che non mi fidi ovviamente, solo che magari c'è una spiegazione più dettagliata sul perchè ciò accada che tu sappia?
Grazie.
Poi mi sembra strano che se comunque le funzioni son praticamente equivalenti convergono in modo diverso. Non che non mi fidi ovviamente, solo che magari c'è una spiegazione più dettagliata sul perchè ciò accada che tu sappia?
Grazie.
Beh, prenditi un testo di Analisi I se vuoi convincertene per bene. Diciamo che "intuitivamente" anche se le funzioni hanno un andamento simile, non c'è nessuna ragione per cui uno debba aspettarsi che l'area sottesa sia la stessa. Un esempio è proprio quello che hai parzialmente risolto nel primo post di questa discussione.
Ho detto notoriamente perché è uno degli integrali "impropri" notevoli che vengono presentati nei corsi di analisi. Comunque, per vedere che è convergente si può fare benissimo come hai fatto tu e vedendo che quel limite è finito, che alla fine è quello che viene più o meno presentato anche nei libri.
Ho detto notoriamente perché è uno degli integrali "impropri" notevoli che vengono presentati nei corsi di analisi. Comunque, per vedere che è convergente si può fare benissimo come hai fatto tu e vedendo che quel limite è finito, che alla fine è quello che viene più o meno presentato anche nei libri.
Perfetto, grazie. Il mio libro non riporta nulla riguardo gli integrali impropri notevoli in effetti.
Comunque allo stesso modo mi è bastato calcolare l'integrale iniziale per sostituzione ed è uscito.
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx = lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (t^-2 dt) = 1/sqrt(2) $
Grazie.
Comunque allo stesso modo mi è bastato calcolare l'integrale iniziale per sostituzione ed è uscito.
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx = lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (t^-2 dt) = 1/sqrt(2) $
Grazie.
Ma è quello che avevi già scritto all'inizio tu ! 
Felice che tu ti sia chiarito
Felice che tu ti sia chiarito
Ciao Jaeger90,
L'integrale improprio notevole di cui ha scritto feddy è l'integrale improprio con intervallo di integrazione $ [a, +\infty) $ seguente:
$\int_a^{+\infty} 1/x^p \text{d}x $
che converge se $p > 1 $ e diverge se $p <= 1 $
Mi sembra strano che il docente ti abbia assegnato l'esercizio che hai proposto senza parlartene, ma tutto può essere...
Assodato che converge, cosa che comunque conviene sempre sapere prima per evitare di avventurarsi in calcoli inutili, si può calcolare (occhio che il calcolo che hai svolto è errato...) e si ha:
$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x $
A questo punto porrei $t := x^2 + 1 \implies \text{d}t = 2x \text{d}x $ per cui si ha:
$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x = 1/2 \int_{2}^{+\infty}(\sqrt(t))/t^2 \text{d}t = 1/2 \int_{2}^{+\infty}t^{-3/2}\text{d}t = [- t^{-1/2}]_2^{+\infty} = $
$ = [- 1/sqrt{t}]_2^{+\infty} = 1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
"feddy":
Ho detto notoriamente perché è uno degli integrali "impropri" notevoli che vengono presentati nei corsi di analisi.
L'integrale improprio notevole di cui ha scritto feddy è l'integrale improprio con intervallo di integrazione $ [a, +\infty) $ seguente:
$\int_a^{+\infty} 1/x^p \text{d}x $
che converge se $p > 1 $ e diverge se $p <= 1 $
Mi sembra strano che il docente ti abbia assegnato l'esercizio che hai proposto senza parlartene, ma tutto può essere...
Assodato che converge, cosa che comunque conviene sempre sapere prima per evitare di avventurarsi in calcoli inutili, si può calcolare (occhio che il calcolo che hai svolto è errato...
) e si ha:$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x $
A questo punto porrei $t := x^2 + 1 \implies \text{d}t = 2x \text{d}x $ per cui si ha:
$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x = 1/2 \int_{2}^{+\infty}(\sqrt(t))/t^2 \text{d}t = 1/2 \int_{2}^{+\infty}t^{-3/2}\text{d}t = [- t^{-1/2}]_2^{+\infty} = $
$ = [- 1/sqrt{t}]_2^{+\infty} = 1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
come al solito sei una garanzia @pilloeffe
"pilloeffe":
Assodato che converge, cosa che comunque conviene sempre sapere prima per evitare di avventurarsi in calcoli inutili, si può calcolare (occhio che il calcolo che hai svolto è errato...
Ma.. ho visto la soluzione ed usa il mio metodo, ed esce come a me $1/sqrt2$
"Jaeger90":
ho visto la soluzione ed usa il mio metodo, ed esce come a me $1/sqrt{2} $
Metodo errato: manca il moltiplicatore $1/2 $, $\sqrt{t} $ a numeratore ed il primo estremo diventa $2$, può capitare nelle migliori famiglie...
Poi il risultato è quello, anche a me risulta $1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
"pilloeffe":
Metodo errato: manca il moltiplicatore $1/2 $, $\sqrt{t} $ a numeratore ed il primo estremo diventa $2$, può capitare nelle migliori famiglie...
Poi il risultato è quello, anche a me risulta $1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
Non capisco dove sia l'errore nel mio procedimento.
$ x^2+1=t^2 rarr 2x dx =2t dt rarr xdx = tdt $
$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) dx $ = $ int_(sqrt2)^(+oo) sqrt(t^2)/t^4 tdt $ = $ int_(sqrt2)^(+oo) (t^-2) dt $ = $1/sqrt2$
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