Integrale improprio di seconda specie con entrambi gli estremi problematici

[davide.fede1]

Salve, ho risolto un esercizio su un integrale improprio ma volevo proporvi il procedimento per essere sicuro di aver fatto bene.
L'integrale in questione è $\int_{1}^{+oo} sqrt[(x^(8a)+5log(x))]/[(x^2+2x-3)^(5a)] dx$ ed il quesito era "converge se e solo se ?" Con $1/61/6$
Mentre per $x rarr 1$ l'integrale tende a $\int_{1}^{+oo} [x^(4a)]/[(x^2+2x-3)^(5a)] dx$ $~=$ $1/[0^(5a)]$ che quindi converge per $a<1/5$ , quindi in definitiva l'integrale iniziale converge per $1/6

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billyballo2123

18 gen 2018, 20:03

Direi che è tutto giusto a parte un paio di puntini sulle i... tipo quando dici "l'integrale tende a..." in realtà sarebbe "la funzione integranda è asintotica a...". Oppure quando scrivi
\[
\int_1^{+\infty} \frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \cong \frac{1}{0^{5a}}
\]
sarebbe meglio scrivere che per $x\to 1$ si ha che
\[
\frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \sim \frac{k}{(x-1)^{5a}}
\]
per qualche costante $k>0$, e dunque per convergere deve essere $5a<1$ (ovvero $a<1/5$).

Comunque il risultato è corretto!

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davide.fede1

19 gen 2018, 09:19

"billyballo2123":Direi che è tutto giusto a parte un paio di puntini sulle i... tipo quando dici "l'integrale tende a..." in realtà sarebbe "la funzione integranda è asintotica a...". Oppure quando scrivi
\[
\int_1^{+\infty} \frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \cong \frac{1}{0^{5a}}
\]
sarebbe meglio scrivere che per $x\to 1$ si ha che
\[
\frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \sim \frac{k}{(x-1)^{5a}}
\]
per qualche costante $k>0$, e dunque per convergere deve essere $5a<1$ (ovvero $a<1/5$).

Comunque il risultato è corretto!

Grazie mille! Starò attento ad essere più preciso

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[billyballo2123]

Direi che è tutto giusto a parte un paio di puntini sulle i... tipo quando dici "l'integrale tende a..." in realtà sarebbe "la funzione integranda è asintotica a...". Oppure quando scrivi
\[
\int_1^{+\infty} \frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \cong \frac{1}{0^{5a}}
\]
sarebbe meglio scrivere che per $x\to 1$ si ha che
\[
\frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \sim \frac{k}{(x-1)^{5a}}
\]
per qualche costante $k>0$, e dunque per convergere deve essere $5a<1$ (ovvero $a<1/5$).

Comunque il risultato è corretto!

[davide.fede1]

"billyballo2123":Direi che è tutto giusto a parte un paio di puntini sulle i... tipo quando dici "l'integrale tende a..." in realtà sarebbe "la funzione integranda è asintotica a...". Oppure quando scrivi
\[
\int_1^{+\infty} \frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \cong \frac{1}{0^{5a}}
\]
sarebbe meglio scrivere che per $x\to 1$ si ha che
\[
\frac{x^{4a}}{(x^2+2x-3)^{5a}}dx \sim \frac{k}{(x-1)^{5a}}
\]
per qualche costante $k>0$, e dunque per convergere deve essere $5a<1$ (ovvero $a<1/5$).

Comunque il risultato è corretto!

Grazie mille! Starò attento ad essere più preciso