Integrale improprio di prima specie con parametro reale
Buongiorno ragazzi,
Avrei un problema a studiare la convergenza di questo integrale improprio di prima specie, al variare di $\alpha in R$
$\int_0^\infty \frac{2+e^(\alphax)}{1+e^(2x)}dx$
Ora io ho provato a suddividere in 3 casi, $\alpha = 2$, $\alpha > 2$ e $\alpha < 2$, ma poi mi perdo e non riesco a ricondurmi ad una forma nota di integrale, tipo $\int_0^\infty \frac{1}{x^p}dx$ oppure a trovare integrali di funzioni note che convergono/divergono per usare il criterio del confronto e dimostrare che anche il mio integrale converge/diverge.. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie mille!
Avrei un problema a studiare la convergenza di questo integrale improprio di prima specie, al variare di $\alpha in R$
$\int_0^\infty \frac{2+e^(\alphax)}{1+e^(2x)}dx$
Ora io ho provato a suddividere in 3 casi, $\alpha = 2$, $\alpha > 2$ e $\alpha < 2$, ma poi mi perdo e non riesco a ricondurmi ad una forma nota di integrale, tipo $\int_0^\infty \frac{1}{x^p}dx$ oppure a trovare integrali di funzioni note che convergono/divergono per usare il criterio del confronto e dimostrare che anche il mio integrale converge/diverge.. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie mille!
Risposte
Prova a usare il criterio di asintoticità e la convergenza di $int_{0}^{+\infty}e^(kx)dx$ con $k<0$
Io avrei pensato in questo modo, per asintoticità ad infinito hai che:
$ ((2+e^(ax))/(1+e^(2x))) = (e^(ax))/(e^(2x)) = e^(ax-2x) = $
Quindi l'integrale di partenza diventa
$ \int_{1}^{+oo} e^((a-2)x)\ dx \ -> \lim_{c\rightarrow +oo} int_{1}^{c} e^((a-2)x)\ dx \ -> 1/((a-2)) \lim_{c\rightarrow +oo} e^((a-2)x) ->$ (Calcolato tra 1 e c, che però non riesco a scrivere)
Ora, abbiamo i tre casi:
1) Se $ (a-2) > 0 $, ho che $ e^((a-2)x) $ diverge a $ +oo $
2) Se $ (a-2) = 0 $, ho che $ e^((a-2)x) = e^0 = 1 $, quindi ottengo $ lim_{c\rightarrow +oo} int_{1}^{c} 1 $. Avendo $ x $ come risultato dell'integrale, ho che il limite anche in questo caso diverge a +oo
3) se $ (a-2) < 0 $, ho che $ e^((a-2)x) = e^(-oo) = 0 $, quindi l'integrale diverge
Riepilogando, l'integrale converse solo se $ a < 2 $
$ ((2+e^(ax))/(1+e^(2x))) = (e^(ax))/(e^(2x)) = e^(ax-2x) = $
Quindi l'integrale di partenza diventa
$ \int_{1}^{+oo} e^((a-2)x)\ dx \ -> \lim_{c\rightarrow +oo} int_{1}^{c} e^((a-2)x)\ dx \ -> 1/((a-2)) \lim_{c\rightarrow +oo} e^((a-2)x) ->$ (Calcolato tra 1 e c, che però non riesco a scrivere)
Ora, abbiamo i tre casi:
1) Se $ (a-2) > 0 $, ho che $ e^((a-2)x) $ diverge a $ +oo $
2) Se $ (a-2) = 0 $, ho che $ e^((a-2)x) = e^0 = 1 $, quindi ottengo $ lim_{c\rightarrow +oo} int_{1}^{c} 1 $. Avendo $ x $ come risultato dell'integrale, ho che il limite anche in questo caso diverge a +oo
3) se $ (a-2) < 0 $, ho che $ e^((a-2)x) = e^(-oo) = 0 $, quindi l'integrale diverge
Riepilogando, l'integrale converse solo se $ a < 2 $
Grazie per le risposte!
Avevo in effetti pensato di fare la stima asintotica all'infinito, ma non avevo pensato di calcolare direttamente l'integrale..
Solo una cosa però: per fare quell'integrale non bisognerebbe moltiplicare e dividere per $\alpha -2$ e quindi avere $1/(\alpha-2) * int_(0)^(\infty) e^((\alpha-2)x) * (\alpha - 2)dx$ ?
Poi, come hai detto tu, distinguere i tre casi. E converge solo per $\alpha < 2$
Avevo in effetti pensato di fare la stima asintotica all'infinito, ma non avevo pensato di calcolare direttamente l'integrale..
Solo una cosa però: per fare quell'integrale non bisognerebbe moltiplicare e dividere per $\alpha -2$ e quindi avere $1/(\alpha-2) * int_(0)^(\infty) e^((\alpha-2)x) * (\alpha - 2)dx$ ?
Poi, come hai detto tu, distinguere i tre casi. E converge solo per $\alpha < 2$
"blak24":
Grazie per le risposte!
Avevo in effetti pensato di fare la stima asintotica all'infinito, ma non avevo pensato di calcolare direttamente l'integrale..
Solo una cosa però: per fare quell'integrale non bisognerebbe moltiplicare e dividere per $\alpha -2$ e quindi avere $1/(\alpha-2) * int_(0)^(\infty) e^((\alpha-2)x) * (\alpha - 2)dx$ ?
Poi, come hai detto tu, distinguere i tre casi. E converge solo per $\alpha < 2$
Si, grazie per la correzione! Avevo messo fuori parentesi però avevo fatto il contrario, cioè messo fuori la moltiplicazione e dentro la divisione! Sempre che sia corretta la mia versione
Alla fine quando non ti ritrovi in un caso "standard", basta calcolare l'Integrale, sostituire l'estremo che da problemi con un parametro e calcolare il limite del parametro che tende a quel valore, e dopo come in questo caso distingui le varie situazioni.
Perfetto! Grazie mille ancora
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