Integrale improprio di esponenziale!

[AlexlovesUSA]

Salve a tutti. Mi sfugge qualcosa nella risoluzione del seguente integrale:
$ int_(-oo )^(+oo ) t^2 e^(-2|t|/T)dt = 2int_(0)^(+oo ) t^2 e^(-2t/T)dt $
Il libro riporta questo semplice passaggio e direttamente la soluzione:
$ T^3 /4int_(0)^(+oo ) alpha^2 e^(-alpha)dt= T^3 /2$
Io appena ho visto l'integrale ho subito iniziato a risolverlo per parti integrando prima l'esponenziale e poi derivando il fattore $t^2$ e infine risolvendo il secondo integrale ottenuto ancora per parti. Alla fine però arrivo a una soluzione un membro della quale è infinito e quindi non mi converge al valore dato nel libro. Quale è il problema?

Riporto di seguito i miei calcoli così potete dirmi cosa sbaglio:
$ -2[T/2 t^2 e^(-2t/T)|_(0->+oo)]- 2[-2T/2 int_(0)^(+oo ) t e^(-2t/T)dt] = -2[T/2 t^ 2 e^(-2t/T)|_(0->+oo)]- 2[-T^ 2 /2 t e^(-2t/T)|_(0->+oo) + $ $ T^ 2 /2 e^(-2t /T) |_(0->+oo)] $
A questo punto, il primo membro di questo risultato viene infinito, perchè anche se il termine esponenziale è nullo per t che tende a più infinito, c'è sempre il termine $t^2$ che è infinito e quindi anche tutta la somma darà un valore infinito. Inltre, anche il termine in cui compare t è infinito! Cosa sbaglio??

[totissimus]

\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\alpha^{2}e^{-\alpha}d\alpha=\left[-\alpha^{2}e^{-\alpha}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}2\alpha e^{-\alpha}d\alpha=2\int_{0}^{\infty}\alpha e^{-\alpha}d\alpha=2\left[-\alpha e^{-\alpha}\right]_{0}^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha}d\alpha=2\)

Nell'integrale iniziale poni \( t=\frac{T \alpha}{2}\)

[AlexlovesUSA]

Ho letto la risposta, e mentre leggevo mi sono subito ricordato del fatto che gli esponenziali sono infiniti di ordine superiore rispetto alle potenze e quindi queste ultime sono trascurabili. Per questo il rapporto tra la potenza di $alpha$ e l'esponenziale viene 0. E' giusto?