Integrale improprio definito tramite somme integrali
Ciao a tutti,
mi chiedo se sia possibile dare la definizione (sotto opportune ipotesi) della scrittura
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \text{d}x \]
attraverso un'opportuna somma di Cauchy, cioè una roba del tipo
\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (x_{k+1}-x_k)\, f(x'_k) \]
dove \( x_k < x'_k < x_{k+1} \) per ogni \( k \) intero.
La domanda sorge perché nel far vedere il procedimento per arrivare alla trasformata di Fourier di una funzione \( f \) attraverso la serie di Fourier nel caso \( T \rightarrow +\infty \), la scrittura
\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\lambda_{k+1}-\lambda_k)\, e^{i2\pi \lambda_k t} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i \lambda_k \tau}\, f(\tau)\, \text{d}\tau \]
viene interpretata proprio come somma di Cauchy della funzione definita da
\[ g(\lambda) = e^{i2\pi \lambda t} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i \lambda \tau}\, f(\tau)\, \text{d}\tau \]
È follia pura, o si può fare?
mi chiedo se sia possibile dare la definizione (sotto opportune ipotesi) della scrittura
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \text{d}x \]
attraverso un'opportuna somma di Cauchy, cioè una roba del tipo
\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (x_{k+1}-x_k)\, f(x'_k) \]
dove \( x_k < x'_k < x_{k+1} \) per ogni \( k \) intero.
La domanda sorge perché nel far vedere il procedimento per arrivare alla trasformata di Fourier di una funzione \( f \) attraverso la serie di Fourier nel caso \( T \rightarrow +\infty \), la scrittura
\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\lambda_{k+1}-\lambda_k)\, e^{i2\pi \lambda_k t} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i \lambda_k \tau}\, f(\tau)\, \text{d}\tau \]
viene interpretata proprio come somma di Cauchy della funzione definita da
\[ g(\lambda) = e^{i2\pi \lambda t} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i \lambda \tau}\, f(\tau)\, \text{d}\tau \]
È follia pura, o si può fare?
Risposte
L'interpretazione euristica della t.d.F. come "caso limite" della s.d.F. è, per l'appunto, euristica... Insomma, teoricamente non la si può giustificare in modo serio, però intuitivamente funziona bene.
Noto, altresì, che quell'interpretazione lì era molto gettonata sui vecchi testi di Metodi Matematici, giacché all'epoca gli ingegneri non studiavano la Matematica necessaria a capire il legame profondo tra t.d.F. e s.d.F. (insomma, non studiavano le distribuzioni ed il teorema di campionamento).
Per quanto riguarda la definizione di integrale, ormai l'approccio dei Matematici all'integrazione non è più quello a là Cauchy-Riemann-Darboux (i.e., funzioni limitate, somme integrali, etc...) ma quello a là Lebesgue.
In altre parole, si è capito che, per evitare casini col dominio della funzione, era più comodo partizionare direttamente l'immagine della funzione e poi riportare la partizione sul dominio attraverso la funzione stessa.
Per capire un po' meglio il concetto, tanto vale andarsi a rileggere la bellissima spiegazione divulgativa data dallo stesso Lebesgue in Sur le development de la notion d'intégrale del 1926 (pagg. 5, ultimo capoverso, e inizio parg. 6).
Noto, altresì, che quell'interpretazione lì era molto gettonata sui vecchi testi di Metodi Matematici, giacché all'epoca gli ingegneri non studiavano la Matematica necessaria a capire il legame profondo tra t.d.F. e s.d.F. (insomma, non studiavano le distribuzioni ed il teorema di campionamento).
Per quanto riguarda la definizione di integrale, ormai l'approccio dei Matematici all'integrazione non è più quello a là Cauchy-Riemann-Darboux (i.e., funzioni limitate, somme integrali, etc...) ma quello a là Lebesgue.
In altre parole, si è capito che, per evitare casini col dominio della funzione, era più comodo partizionare direttamente l'immagine della funzione e poi riportare la partizione sul dominio attraverso la funzione stessa.
Per capire un po' meglio il concetto, tanto vale andarsi a rileggere la bellissima spiegazione divulgativa data dallo stesso Lebesgue in Sur le development de la notion d'intégrale del 1926 (pagg. 5, ultimo capoverso, e inizio parg. 6).
Perdonate se mi intrufolo nella discussione, ma il tema mi incuriosisce e mi appassiona.
Gugo, posso chiederti, gentilmente, sei puoi essere un po' più preciso e hai voglia di dare qualche dettaglio in più? Sto seguendo un corso sulla Teoria delle distribuzioni e abbiamo affrontato anche il discorso sulla t.d.F. (dapprima un breve review di come funzionano le cose in $L^1$ e poi in ambito distribuzionale, ottenendo Plancherel senza "sforzo"). Però, non mai sentito parlare di Teorema di campionamento (di che si tratta, se posso chiedere?). E poi, ho sentito dire che la s.d.F. e la t.d.F. sono moralmente la stessa cosa (in un contesto astratto), l'una fatta rispetto alla misura che conta, l'altra rispetto alla misura di Lebesgue. Che cosa c'è veramente sotto? Sono risultati di Analisi armonica (magari robe che si inquadrano bene in un contesto con misure di Haar etc)? Hai qualche riferimento da darmi?
Non mi spiacerebbe, un giorno o l'altro, studiarmi un po' di Analisi armonica (magari dal Rudin, Fourier Analysis on topological groups) e non escludo di farlo in un prossimo futuro, appena finiti (se mai finiranno
) gli esami di quest'anno. Ma sono ben felice di sentire pareri e consigli più esperti. 
Grazie.
P.S. Grazie anche per il link, non l'avevo mai visto (possiedo una copia delle Leçons sur l'integration et... ), ma non avevo mai visto quella spiegazione. Grazie e scusate ancora l'intromissione.
"gugo82":
L'interpretazione euristica della t.d.F. come "caso limite" della s.d.F. è, per l'appunto, euristica... Insomma, teoricamente non la si può giustificare in modo serio, però intuitivamente funziona bene.
Noto, altresì, che quell'interpretazione lì era molto gettonata sui vecchi testi di Metodi Matematici, giacché all'epoca gli ingegneri non studiavano la Matematica necessaria a capire il legame profondo tra t.d.F. e s.d.F. (insomma, non studiavano le distribuzioni ed il teorema di campionamento).
Gugo, posso chiederti, gentilmente, sei puoi essere un po' più preciso e hai voglia di dare qualche dettaglio in più? Sto seguendo un corso sulla Teoria delle distribuzioni e abbiamo affrontato anche il discorso sulla t.d.F. (dapprima un breve review di come funzionano le cose in $L^1$ e poi in ambito distribuzionale, ottenendo Plancherel senza "sforzo"). Però, non mai sentito parlare di Teorema di campionamento (di che si tratta, se posso chiedere?). E poi, ho sentito dire che la s.d.F. e la t.d.F. sono moralmente la stessa cosa (in un contesto astratto), l'una fatta rispetto alla misura che conta, l'altra rispetto alla misura di Lebesgue. Che cosa c'è veramente sotto? Sono risultati di Analisi armonica (magari robe che si inquadrano bene in un contesto con misure di Haar etc)? Hai qualche riferimento da darmi?
Non mi spiacerebbe, un giorno o l'altro, studiarmi un po' di Analisi armonica (magari dal Rudin, Fourier Analysis on topological groups) e non escludo di farlo in un prossimo futuro, appena finiti (se mai finiranno
) gli esami di quest'anno. Ma sono ben felice di sentire pareri e consigli più esperti. Grazie.
P.S. Grazie anche per il link, non l'avevo mai visto (possiedo una copia delle Leçons sur l'integration et... ), ma non avevo mai visto quella spiegazione. Grazie e scusate ancora l'intromissione.
"gugo82":
L'interpretazione euristica della t.d.F. come "caso limite" della s.d.F. è, per l'appunto, euristica... Insomma, teoricamente non la si può giustificare in modo serio, però intuitivamente funziona bene.
Noto, altresì, che quell'interpretazione lì era molto gettonata sui vecchi testi di Metodi Matematici, giacché all'epoca gli ingegneri non studiavano la Matematica necessaria a capire il legame profondo tra t.d.F. e s.d.F. (insomma, non studiavano le distribuzioni ed il teorema di campionamento).
Ah. Mi sapresti consigliare qualche dispensa online che parla in modo rigoroso di questo legame tra T.d.F. e S.d.F.? Mi interessa molto.
"gugo82":
Per quanto riguarda la definizione di integrale, ormai l'approccio dei Matematici all'integrazione non è più quello a là Cauchy-Riemann-Darboux (i.e., funzioni limitate, somme integrali, etc...) ma quello a là Lebesgue.
In altre parole, si è capito che, per evitare casini col dominio della funzione, era più comodo partizionare direttamente l'immagine della funzione e poi riportare la partizione sul dominio attraverso la funzione stessa.
Per capire un po' meglio il concetto, tanto vale andarsi a rileggere la bellissima spiegazione divulgativa data dallo stesso Lebesgue in Sur le development de la notion d'intégrale del 1926 (pagg. 5, ultimo capoverso, e inizio parg. 6).
Sembra molto interessante, ma non so una parola di francese. Non esistono delle traduzioni (almeno in inglese se non in italiano) di quel documento?
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