Integrale Improprio con radici e frazione

[Tizzio1]

\(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x^2-2}} dx \)

Buongiorno ragazzi, sapreste aiutarmi con questo integrale improprio?

Ho provato a fare un veloce ragionamento:

dato che
\(\displaystyle \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x^2-2} = \sqrt{(x+1)(x^2-2)} = \sqrt{x^3 + x^2 -2x -2} = x^{1.5}\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}} \)

posso dire che, quando tende a infinito è simile a

\(\displaystyle \frac{1}{x^{1.5}} \)

Conoscendo la serie armonica, posso dire che:
\(\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha}} \) converge se \(\displaystyle \alpha>1 \) infatti ( 1.5 > 1 )


Quindi l'integrale di partenza converge per il criterio del confronto con un integrale più grande che converge:
\(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{1.5}\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}} } dx < \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{1.1}} dx \)

E' legale? Correggetemi se ho scritto qualche cretinata
Vi lascio il link al risultato di wolfram alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 2%29%29%29

Che mostra chiaramente come sia impossibile trovarne la primitiva.

Grazie a tutti in anticipo.

[Brancaleone1]

Sì l'integrale converge