Integrale improprio con parametro esponenziale

[andrello1]

Dunque questo è un esercizio di un tema d'esame di cui non ho la soluzione...
Chiede per quali valore del parametro $alpha$ il seguente integrale converge:

$ int_(0)^(+oo ) e^(2alpha t^2)/(root(3)(t^3+t)) dt $

L'integranda è continua in $(0;+oo)$.
Ora, per $t->0$, mi viene $2alpha * 1/(t^(-5/3))$, usando l'asintotico di $e^x - 1 ~ x$, perciò dovrebbe convergere per confronto asintotico con la serie armonica $1/(x^y)$ con $y < 1$, per qualsiasi $alpha$?
Per $t->+oo$ invece non so come girarla, mi blocco a $e^(2alpha t^2)/t$...
Se qualcuno potesse darmi una mano mi farebbe un grande favore

[donald_zeka]

Per t che tende a zero, il numeratore non dà alcun problema dato che $e^(2alphat^2)$ tende a 1 per qualsiasi $alpha$, quindi ti rimane solo il numeratore che è un semplice polinomio, sai che $t^3+t~t$ per $t->0$, quindi...

Per t che tende a infinito invece, se $lpha<0$ cosa puoi dire? Se $alpha>0$ invece cosa succede alla funzione integranda?, poi ti rimane il caso semplice di $alpha=0$

[andrello1]

"Vulplasir":Per t che tende a zero, il numeratore non dà alcun problema dato che $e^(2alphat^2)$ tende a 1 per qualsiasi $alpha$, quindi ti rimane solo il numeratore che è un semplice polinomio, sai che $t^3+t~t$ per $t->0$, quindi...

Per t che tende a infinito invece, se $alpha<0$ cosa puoi dire? Se $alpha>0$ invece cosa succede alla funzione integranda?, poi ti rimane il caso semplice di $alpha=0$

Grazie mille della risposta
Uhm, dunque... Riguardo al caso $t->0$, ne approfitto per esporre un altro piccolo dubbio. Come faccio a capire quando devo usare l'asintotico oppure semplicemente sostituire alla variabile il valore al quale tende? Perché a numeratore ho considerato $t=0$ e a denominatore no? Verrebbe una forma indeterminata se considerassi $t=0$ in entrambi...
Comunque sarebbe $1/t$, dove $t->0$, quindi... diverge? So che nelle serie, in questo caso non si può trarre alcuna conclusione sulla convergenza, ma negli integrali in altri esercizi ho visto che la danno per divergente.

Per il secondo caso, $t->+oo$, partendo dalla forma $e^(2alphat^2)/t$, se $alpha=0$ l'integranda viene $1/t$, che diverge. Nei restanti casi invece ho dei dubbi... E' possibile che per $alpha>0$, mi venga $e^(2alpha)*(e^(t^2)/t)>=t^2/t=1/t$ divergente perché la minorante diverge?
E per $alpha<0$, venga $1/(e^(2alphat^2)*t)<=1/t^2$ (perché $e^(2t^2) > t$), e quindi convergente essendolo anche la maggiorante? Questo però dubito che valga per tutti gli $alpha$, credo cambi nell'intorno $[-1;0)$ di $alpha$

[donald_zeka]

Al numeratore si è sostituito subito $t=0$ perché il numeratore non tende a zero, e quindi non influisce in alcun modo sulla convergenza o meno, quello che influisce sulla convergenza è il denominatore, che tende a zero per t che tende a zero, pertanto bisogna usare l'asintotico per vedere con quale velocità il denominatore tende a zero, poco ci importa del numeratore dato che è sempre diverso da zero.
Inoltre il termine al denominatore è sotto una radice cubica, quindi se l'argomento della radice è asintotico a $t$ allora il numeratore è asintotico alla radice cubica di t...

Per quanto riguarda il caso per t che tende a infinito, l'argomento della radice cubica al denominatore non è asintotico a t, ma è asintotico a t^3 (infatti per t che tende a zero si ha che t^3 è trascurabile rispetto a t, mentre per t che tende a inifinito si ha che invece è t che è trascurabile rispetto a t^3).

Quindi il caso alpha=0 è semplice, se invece alpha>0 al numeratore hai un esponenziale con esponente positivo...e sai che l'esponenziale tende a infinito più velocemente di qualsiasi polinomio...mentre se alpha<0 allora $e^(2alphat^2)$ si può "spostare" al denominatore...e sai che l'integrale di $1/(e^x)$ è sempre convergente, pertanto...

[andrello1]

Okay, credo di aver capito. Riassumendo quindi...

$ int_(0)^(+oo ) f(t) = int_(0)^(+oo ) e^(2alpha t^2)/(root(3)(t^3+t)) dt $

Se $t->0$, $f(t)~1/t^(1/3)$ converge per qualsiasi $alpha$

Se $t->+oo$, per $alpha = 0$, $f(t)=1/t$ divergente
per $alpha > 0$, $f(t)~e^(2alphat^2)/t->+oo$ perciò diverge
per $alpha < 0$, $f(t)~1/(e^(2alphat^2)t)<1/e^(2alphat^2)$ converge per qualsiasi $alpha < 0$

Quindi l'integrale converge per $alpha < 0$.
Giusto?
Grazie mille

EDIT: sul libro vedo che il caso $1/t^alpha$ con $t->+oo$ diverge a $+oo$ se $alpha<=1$, però stavo pensando che in questo caso $1/t~1/oo->0$, ora so che tendere a a zero è solo condizione necessaria ma non sufficiente, però... ora vedo se riesco a trovare qualcosa al riguardo

EDIT 2: ok ho capito, è perché se integro $1/t$ mi viene $log(t) -> +oo$ con $t->+oo$

[donald_zeka]

Si giusto