Integrale improprio con parametro. Dubbio
Ciao a tutti, ho svolto questo esercizio ma non so se sia giusto. Dateci un'occhiata per favore e ditemi se è corretto. Se è corretto scrivete "è corretto". Grazie in anticipo.
Per quali valori del parametro reale \(\displaystyle \alpha \) l'integrale converge? $ I(\alpha) = int_(0)^(+oo ) ( 1-sqrt(1+x^(3\alpha) ) ) / (root(3)(x-1)) dx $
L'esercizio l'ho svolto così
la funzione integranda $f(x)=( 1-sqrt(1+x^(3\alpha) ) ) / (root(3)(x-1)) $ è defininta in nell'intervallo \(\displaystyle (1,+\infty) \)
Ora faccio il limite per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \) suddividendo i vari \(\displaystyle \alpha \)
per \(\displaystyle \alpha>0 \)
\(\displaystyle f(x)\sim \frac{\sqrt{x^{3\alpha}}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\alpha}} \rightarrow \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\alpha>1\rightarrow \alpha<-\frac{4}{9}\), per \(\displaystyle \alpha>0, \mho (+\infty) \) è integrabile
per \(\displaystyle \alpha=0 \)
\(\displaystyle f(x)\sim (1-\sqrt{2})\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \), diverge.. perchè \(\displaystyle \frac{1}{3} \) è minore di 1
per \(\displaystyle \alpha<0 \)
pongo \(\displaystyle -\alpha=\beta \) e scrivo \(\displaystyle \frac{1+\left(1+\frac{1}{x^{3\beta}}\right)^\frac{1}{2}}{\sqrt[3]{x-1}} \sim \frac{\frac{1}{2x^{3\beta}}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}+3\beta}}\rightarrow \frac{1}{3}+3\beta>1 \rightarrow 9\beta>2\rightarrow -9\alpha>2\rightarrow \alpha <-\frac{2}{9}\)
IN DEFINITIVA NELL'INTORNO DI \(\displaystyle +\infty \) l'integrale converge per \(\displaystyle \alpha<-\frac{4}{9} \)
Ora faccio il limite per \(\displaystyle x\rightarrow 1 \)
per \(\displaystyle x\rightarrow 1 \) \(\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt{1+x^{3\alpha}}}{\sqrt[3]{x-1}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \) che CONVERGE perchè \(\displaystyle \frac{1}{3} \) è minore di 1
CONCLUDO DICENDO CHE NELL'INTORNO DI \(\displaystyle 1 \) l'integrale converge \(\displaystyle \forall \alpha\in\mathbb{R} \)
Per quali valori del parametro reale \(\displaystyle \alpha \) l'integrale converge? $ I(\alpha) = int_(0)^(+oo ) ( 1-sqrt(1+x^(3\alpha) ) ) / (root(3)(x-1)) dx $
L'esercizio l'ho svolto così
la funzione integranda $f(x)=( 1-sqrt(1+x^(3\alpha) ) ) / (root(3)(x-1)) $ è defininta in nell'intervallo \(\displaystyle (1,+\infty) \)
Ora faccio il limite per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \) suddividendo i vari \(\displaystyle \alpha \)
per \(\displaystyle \alpha>0 \)
\(\displaystyle f(x)\sim \frac{\sqrt{x^{3\alpha}}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\alpha}} \rightarrow \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\alpha>1\rightarrow \alpha<-\frac{4}{9}\), per \(\displaystyle \alpha>0, \mho (+\infty) \) è integrabile
per \(\displaystyle \alpha=0 \)
\(\displaystyle f(x)\sim (1-\sqrt{2})\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \), diverge.. perchè \(\displaystyle \frac{1}{3} \) è minore di 1
per \(\displaystyle \alpha<0 \)
pongo \(\displaystyle -\alpha=\beta \) e scrivo \(\displaystyle \frac{1+\left(1+\frac{1}{x^{3\beta}}\right)^\frac{1}{2}}{\sqrt[3]{x-1}} \sim \frac{\frac{1}{2x^{3\beta}}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}+3\beta}}\rightarrow \frac{1}{3}+3\beta>1 \rightarrow 9\beta>2\rightarrow -9\alpha>2\rightarrow \alpha <-\frac{2}{9}\)
IN DEFINITIVA NELL'INTORNO DI \(\displaystyle +\infty \) l'integrale converge per \(\displaystyle \alpha<-\frac{4}{9} \)
Ora faccio il limite per \(\displaystyle x\rightarrow 1 \)
per \(\displaystyle x\rightarrow 1 \) \(\displaystyle f(x)=\frac{1-\sqrt{1+x^{3\alpha}}}{\sqrt[3]{x-1}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(x-1)^{\frac{1}{3}}} \) che CONVERGE perchè \(\displaystyle \frac{1}{3} \) è minore di 1
CONCLUDO DICENDO CHE NELL'INTORNO DI \(\displaystyle 1 \) l'integrale converge \(\displaystyle \forall \alpha\in\mathbb{R} \)
Risposte
mi sembra che con \(\displaystyle x\rightarrow 1 \) è esatto, cioè che converge \(\displaystyle \forall \alpha \)
mentre non è verificata la condizione con \(\displaystyle \alpha>0 \) perchè ti viene \(\displaystyle \alpha<-\frac{4}{9} \) e non può essere verificata.
quindi possiamo concludere che quell'integrale converge per \(\displaystyle \alpha<0 \) e ti viene \(\displaystyle \alpha<-\frac{2}{9} \), nell'intorno di infinito
ma attendo conferma!
mentre non è verificata la condizione con \(\displaystyle \alpha>0 \) perchè ti viene \(\displaystyle \alpha<-\frac{4}{9} \) e non può essere verificata.
quindi possiamo concludere che quell'integrale converge per \(\displaystyle \alpha<0 \) e ti viene \(\displaystyle \alpha<-\frac{2}{9} \), nell'intorno di infinito
ma attendo conferma!
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