Integrale improprio con parametro

[Ale2504]

Ciao, mi serve aiuto con un integrale. Sono sicuro che sara' una banalita' ma non arrivo alla soluzione.
Dunque, devo trovare i valori di $\alpha$ per cui l'integrale $\int_0^1(e^(2x^2)-1) /( sqrt(x^(2+\alpha))*(1+x^\alpha))dx$ e' un integrale improprio e come tale e' convergente (testuali parole). Ho capito che il risultato non dipende dall'estremo di integrazione $1$ quindi mi sono concentrato sullo $0$. Qualcuno mi da un suggerimento? Grazie in anticipo

Edit: la soluzione e' $2<\alpha<4$

[Sk_Anonymous]

Prova a sviluppare il numeratore secondo MacLaurin. Al denominatore si ha \[\displaystyle \sqrt{x^{2+\alpha}}(1+x^\alpha)=x^{1+\frac{\alpha}{2}}(1+x^{\alpha}) \] e quindi ti gingilli un po' con i vari casi, considerando per esempio che se \(\displaystyle x \to 0 \) e \(\displaystyle \alpha \ge 0 \), allora \[\displaystyle x^{1 +\frac{\alpha}{2}} \to 0 \] ma \[\displaystyle (1+x^{\alpha}) \to 1 \]

[Ale2504]

Credo di essere sulla giusta strada.
Ho fatto il limite della funzione per $x->0$ dato che e' quello che mi interessa: $lim_(x->0) (e^(2x^2)-1)/(sqrt(x^(2+\alpha))*(1+x^\alpha))dx$
utilizzando i limiti notevoli diventa

$lim_(x->0) (2x^2)/(sqrt(x^(2+\alpha))*(1+x^\alpha))dx$

da qui non capisco come ricondurlo alla forma $1/x^\alpha$, per poi porre $\alpha<1$ e capire per quali $\alpha$ converge.

Ora provo come dici tu Delirium, grazie