Integrale improprio con parametro

[Appinmate]

Rieccomi con un nuovo dubbio .. l'integrale in questione è: $int_{0}^{+infty}(arctgx)^3/(x^a*log(1+x))dx$ .. In zero non ho avuto problemi a determinare la convergenza ma a $+infty$ pensavo di maggiorarlo a $(pi/2)^3/(x^a*(1+x))$ e studiare questo.ho paura di perdermi degli a tale per cui l'integrale di partenza converga a $+infty$... il testo del problema mi dice anche che deve essere a>0.. Qualcuno riesce ad aiutarmi? Grazie in anticipo!

[cooper1]

sei sicura del risultato? perchè a me esce $a in (1,3)$. io direi che:
1. in un intorno di zero $f(x)~~ 1/x^(a-2)$ che quindi converge per $a<3$
2. in $+oo$ direi che $f(x)~~(pi/2)^3 1/(x^a logx)$ che quindi converge per $a>1$
3. interseco le soluzioni ed ottengo $a in (1,3)$

[Appinmate]

No no ma a>0 di zero non è una soluzione.. è il testo del problema che mi dice di considerare solo quei valori di a.. ma a piú infinito non rischio di perdere dei valori di a usando quella maggiorazione?

[cooper1]

"Appinmate":è il testo del problema che mi dice di considerare solo quei valori di a.

ah ok, apposto allora non avevo compreso

"Appinmate":ma a piú infinito non rischio di perdere dei valori di a usando quella maggiorazione?

di che maggiorazione parli? la tua? a me non sembra corretta:
io so che vale $log(1+t)<=t, AAt >= 0$ ma prendendo i reciproci la disequazione si inverte: $1/t <= 1/(log(1+t))$
il ragionamento corretto da fare a mio avviso è quello ancora una volta del confronto asintotico andando a studiare il comportamento della funzione integranda a $+oo$

[Appinmate]

Hai ragione! Grazie mille, come sempre, per i preziosi aiuti!